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1、 山东省实验中学 2010 级第四次诊断性测试 数学试题（文科）（2013.02）说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）共两卷.其中第卷共 60 分，第卷共 90 分，两卷合计 150 分，答题时间为 120 分钟，不能使用计算器. 第第卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 i 为虚数单位，若复数i 为实数，则实数的值为(1)(1)aaaA. -1B. 0C. 1D. 不确定2若集合，则集合不可能是 |0Py yPQQQAB2 |,y yxxR |2 ,
2、xy yx= RCD |lg|,0y yxx=3 |,0y yxx-=3函数的定义域为0.51 log(43)yx=-ABCD3,143,4+(1,)+3,1(1,)4+U4在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为A92，2B92，2.8C93，2D93，2.85下列命题中，真命题是A，使函数是偶函数m$ R2( )()f xxmx x=+ RB，使函数是奇函数m$ R2( )()f xxmx x=+ RC，函数都是偶函数m“ R2( )()f xxmx x=+ RD，函数都是奇函数m“
3、 R2( )()f xxmx x=+ R6若，且 则的最小值等于, x y R1, 230, ,x xy yx-+ 2zxy=+A2B3C5D97某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为ABCD4?k 5?k 6?k 7?k 8已知锐角的面积为，则角的大小为ABCV3 34,3BCCA=CA75B60C45D309直线 与圆相交于、两点，若弦的中点为（-l22240(3)xyxyaa+-+=(,0)(0)Fcc-2 22 4axy+=线，切点为E，延长交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为FE2OPOEOF=-uuruu u ruuu rABCD1010 510 2212设函数的
4、定义域为，对于给定的正数k，定义函数( )yf x=R给出函数，若对任意的，恒有( ),( ),( ),( ).kf xf xkfxk f xk= 2( )42f xxx= -+-x R，则( )( )kfxf x=A的最大值为 2B的最小值为 2kkC的最大值为 1D的最小值为 1kk 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分）分）二、填空题：（本大题共有 4 个小题，每小题 4 分，共计 16 分.）13下图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm3的几何体的三视图，则= cm.h14某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的
5、重要指标） ，所得数据都在区间5，40中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100 根中，有 根棉花纤维的长度小于 20mm.15已知数列，函数的图象在点na2(0)yxx=处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，2(,)kka ax1ka+k *N若，则的值是 .116a =135aaa+16已知向量且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .(1,2),(1,1)=abal+abl三、解答题：（本大题共有 6 个小题，共 74 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）17 （本小题满分 12 分）已知向量，若.(cos ,sin ),( 3cos ,cos )xxxx=ab( )3f x
6、 = +a b（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；( )f x（2）求函数在区间上的值域.( )f x5,12 12pp -18 （本小题满分 12 分） 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1 的小球 1 个，标号为 2 的小球个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号是 2 的小球的概率是.n1 2（1）求的值；n（2）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小a球标号为.b记事件表示“” ，求事件的概率；A2ab+=A在区间0，2内任取两个实数，求事件“恒成立”的概率., x y222()xyab+-1
7、9 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，PABCD-PD ABCDABCD分别是的中点.,PDDC E F=,AB PB（1）求证：;EFCD（2）若线段上存在点，使平面，请确定位置，并证ADGGF PCBG明你的结论.20 （本小题满分 12 分）已知正项数列的前项和为.当且时，点在直线nan11,2nS a =n N*1(,)nnS S+上，数列满足.122yx=+ nb1 2log()nnba n= N*（1）求数列的通项公式；nana（2）设数列的前项和为求nnb an.nT.nT21 （本小题满分 12 分）设椭圆和抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原
8、点，从每条曲线上各1C2Cx1C2C取两点，将其坐标记录于下表中：x3-242y2 3-0-42 2（1）求曲线的标准方程；12,C C（2）是否存在过抛物线的焦点的直线 ，使得 与椭圆交于不同两点、，且2CFll1CMN？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.0OM ON=uuu r uuu r l22 （本小题满分 14 分）已知函数.( )ln(1)(1)1f xxk x=-+（1）求函数的单调区间；( )f x（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；( )0f x k（3）证明：.ln2ln3ln4ln(1)()34514nn nnnn-+ +1数学试题（文科）参考答案选择题A
9、DDBA BABAC CB填空题13. 4 14. 30 15. 21 16. .5,0(0,)3-+U17. 解：（1）2( )33cossin cos3f xxxx= +=+a b313 3cos2sin2222xx=+，图象的对称轴方程为3 32sin 2.32xTz=+=. 6 分7+()1212xkxkk= Z且（2）由于区间的长度为，为半个周期.5,12 12 - 2又在处分别取到函数的最小值，最大值，所以函数在区( )f x5,12 12-3 312-3 312+( )f x间上的值域为. 12 分5,12 12 -3 33 31,122-+ 18. 解：（1）由题意可知：，解得
10、 4 分1 112n n=+2n =（2）两次不放回抽取小球的所有基本事件为：（0，1） ， （0，21） ， （0，22） ， （1，0） ， （1，21） ， （1，22） ， （21，0） ， （21，1） ， （21，22） ， （22，0） （22，1） ， （22，21） ，共 12 个,事件包含的基本事件为：A（0，21） ， （0，22） ， （21，0） ， （22，0） ，共 4 个. . 4( )1123P A=8 分记“恒成立”为事件，则事件等价于“” ，可以222()xyab+-BB224xy+( , )x y看成平面中的点，则全部结果所构成的区域，( , )|02,
11、02, ,x yxyx yW= R而事件所构成的区域，B22( , )|4, ,Bx yxyx y=+ W如图，则. 12 分( )14ABCSP BSD=-且且且19. 证明：（1）由于底面为正方形，ABCD，又平面，ADCDPD ABCD，又分别是，的中点，. 5 分PDCD,E FQABPBEFAPEFCD（2）如图，设的中点为，的中点为，连结.ADGBDO,OF OG PG GB GF、分别是、的中点，OQFGBDPBAD，FOPDGOAB,ABBDGOBCQ，.,PDABCD FOQ且且PD,FOABCD 且且GFBC设，PDDCa=则，225 2PGPDDGa=+=，225 2GB
12、ABAGa=+=，又是的中点，. 12 分PGGB=FPB,GFPBGFPCB 且且20. 解：（1）当且时，点在直线上，2nn*N1(,)nnSS-122yx=+ 1241nnSS-=+1241()nnSSn+=+*N阴由-得：1 122(2,)n nn naaanna+ += N*由得21241SS=+1212()41aaa+=+又，2 12 11,1,22aaaa=数列是以为首项，2 为公比的等比数列. . 6 分na1 222nna-=（2）211loglog2222n nnban-=-Q232210132,121222 2n nnnn nbnnnTa-=+ +221110132 21
13、2222nnnnnT-=+ +由-得：.2212111111212221222222nnnnnnnT-=- -=-. 12 分2 1222n nnnTn- -=21. 解：（1）由题意（-2，0）一定在椭圆上.1C设方程为，则1C22221(0)xyabab+=2a =椭圆上任何点的横坐标.1C|2x 所以也在上，从而22,2 1C21b =的方程为1C2 214xy+=从而， （4，-4）一定在上，设的方程为(3,2 3)-2C2C22(0)ypx p=.即的方程为. 5 分2p=2C24yx=（2）假设直线 过的焦点.l2C(1,0)F当 的斜率不存在时，则.l331,1,22MN-此时，与已知矛盾.311044OM ON=-=uuu r uuu r当 的斜率存在时设为，lk则 的方程为代入方程并整理得：l(1)yk x=-1C.2222(14)8440kxk xk+-+-=设，1122(,),(,)M x yN xy则22121222844,1414kkxxx xkk-+=+2 2 1212121223(1) (1)(1)14ky yk xk xkx xxxk-=-=-+=+2 12120,0,40,2OM ONx xy ykk=+=-= uuu r uuu r Q存在符合条件的直线 且方程为，l2(1)yx= -即.
