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1、- 1 -定远重点中学定远重点中学 2017-20182017-2018 学年第二学期教学段考卷学年第二学期教学段考卷高二（理科）数学试题高二（理科）数学试题一选择题（本题有一选择题（本题有 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。分。 ）1. 若关于 的方程有唯一的实数解，则正数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】方法一：验证法.当时，可得函数与函数在处的切线是相同的.故选A方法二：因为，由得.设，由题意得当且仅当函数和的图象相切时满足题意，设切点为，则，解得.选A【名师点睛】本题考查方程解的情况，解题中将方程有唯一实数解的问题转化为两函数图象有唯
2、一公共点的问题，通过合理的构造函数，经分析得到当两图象在某点处相切时满足条件，故可用导数的几何意义求解，在设出切点的前提下，构造出关于参数的方程组使得问题得以解决.2. 设为函数 f（x）的导数且 f（x）= 则=（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】分析：根据导函数定义，对 f（x）= 求导得，代入求得。所以可以确定 的解析式，代入 即可得到答案。.详解：对函数求导得 ，所以所以- 2 -所以所以选 B点睛：本题考查了导数的简单应用，注意是个常数值，因而导数为 0，是简单题。3. 已知函数，则是（ ）A. 奇函数，且在上单调递增 B. 偶函数，且在上单调递增C. 奇函
3、数，且在上单调递减 D. 偶函数，且在上单调递增【答案】D【解析】,所以为偶函数,设,则在单调递增, 在单调递增, 所以在单调递增,故选 B4. 由曲线与直线， 所围成的封闭图形面积为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】由曲线，直线，解得：由曲线，直线，可得交点坐标为由曲线与直线，所围成的封闭图形面积为故选5. 已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为 1，第二行为 3，5，第三行为 7，9，11，第四行为 13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的- 3 -数记为，比如，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】奇数数列，即
4、为底 1009 个奇数.按照蛇形排列，第 1 行到第行末共有个奇数,则第 1 行到第行末共有个奇数；第 1 行到第行末共有个奇数；则 2017 位于第 45 行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第 45 行，从右到左第 19 列，则，故选 D.点睛：本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关
5、的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.6. 已知为虚数单位，若复数，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】分析：根据表达式得，化简可求得，根据模的定义即可求得 。详解： 所以 - 4 -所以选 C点睛：本题考查了复数的简单运算和模的定义，化简过程中注意共轭复数和符号的变化，是简单题。7. 的展开式的第 4 项的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得的展开式的第 4 项为，选 A.8. 由 1、2、3、4、5、6、7 七个数字组成七位数，要求没有重复数字且 6、7 均不得排在首位与个位，1 与 6 必须
6、相邻，则这样的七位数的个数是（ ）A. 300 B. 338 C. 600 D. 768【答案】D【解析】当 1 在首位时，6 只有一种排法，7 有四种排法，余下四数共有中排法，共有种；当 1 在个位时，同样共有 96 种；当 1 即不再首位也不在个位时，先把 1 和 6 排好，有种排法，再排 7 有 3 种排法，余下四数共有中排法，共有种综上：共有=768故选：D点睛：本题是一道带有限制条件的排列组合题目，这种问题的常用解题策略有：相邻问题捆绳法，不邻问题插空法，特殊元素（特殊位置）优先分析法，定序问题缩倍法，多排问题单排法，相同元素隔板法等等.9. 已知随机变量 ，且，则（ ）A. B.
7、C. D. 【答案】B【解析】由正态分布的对称性知，故选 B.- 5 -10. 函数的最大值为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】：f（x）=x2ex+1，x-2，1，f（x）=2xex+1+x2ex+1=xex+1（2+x） ，当 x（-2，0）时，f（x）0当 x（0，1）时，f（x）0当 x=0 时，原函数有极小值为 f（0）=0；而当 x=-2 时，f（x）= 当 x=1 时，f（x）=e2函数 f（x）=x2ex+1，x-2，1的最大值为 e2故选 C11. 已知函数，则的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】当时， ， ，所以在单调递增，则 B、
8、D 错误；当时， ， ，则在单调递减， 单调递增，所以 A 正确，故选 A.点睛：本题通过对函数的单调性分析得到图象.由于本题函数是绝对值函数，则去绝对值分- 6 -类讨论，分别通过求导分析，得到单调性情况，得到正确的图象.图象选择问题也常用特殊值法排除错误选项.12. 下列说法中正确的是（ ）相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于 ，相关性越弱；回归直线一定经过样本点的中心；随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好.A. B. C. D. 【答案】D【解析】相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于
9、 ，则相关性越强，所以错误；回归直线一定经过样本点的中心，正确；随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度，正确；相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好，所以错误所以正确的有。故选 D。二、填空题（本题有二、填空题（本题有 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 ）13. 已知函数 f(x) x22axlnx，若 f(x)在区间 上是增函数，则实数 a 的取值范围为_ 【答案】【解析】由题意知f(x)x2a 0 在上恒成立，即 2ax 在上恒成立又yx 在上单调递减，max ，2a ，即a .14. 若函数满足都有，且， ，则_【答案】4
10、033.- 7 -【解析】在中，令，得，解得。令，则，解得。于是有，猜想。答案：403315. 某射手在一次射击训练中，射击 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，则这个射手在一次射击中射中 10 环或 7 环的概率为_【答案】0.49【解析】这个射手在一次射击中射中 10 环或 7 环的概率为16. 已知随机变量， ，若， ，则_【答案】【解析】分析：通过二项分布，可求得 p 值；由正态分布的对称情况，可求得的值。详解：由二项分布可知，解得 所以 点睛：本题考查了二项分布和正态分布的简单应用，解题关键是掌握二项分布中 X 的取值，正态分布中对称性
11、的应用，属于简单题。三、解答题（本题有三、解答题（本题有 6 6 小题，共小题，共 7070 分。分。 ）17. 一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球（n2，且 nN*） ，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中） ，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖（1）试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率 P；（2）若 n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；- 8 -（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f（p） ，当 n 为何值时，f（p）最大【答案】 （1）（2）（3）2【解析】试题分析：（1）求古典概型概率，关键正确计算事件所包含的基本事件. 一次摸球从个球中任选两个，有
12、种选法，其中两球颜色相同有种选法；因此一次摸球中奖的概率.（2）因为每次摸球后把这两个球放回袋中，所以事件为独立重复试验. 由（1）得一次摸球中奖的概率是，所以三次摸球恰有一次中奖的概率是.(3)同（2）可得三次摸球中恰有一次中奖的概率是，这是三次函数，利用导数求最值. 由知在是增函数，在是减函数，所以当时，取最大值.试题解析：(1)一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；一次摸球中奖的概率. 4 分(2)若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是. 8 分(3)设一次摸球中奖的概率是 ，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，在是增函数
13、，在是减函数，当时，取最大值. 10 分- 9 -由.时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大 12 分考点：古典概型概率，独立重复实验，利用导数求最值18. 已知是虚数， 是实数（1）求为何值时， 有最小值，并求出|的最小值；（2）设，求证： 为纯虚数【答案】 （1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）设 ，化简 ，利用是虚数为实数，解得 的轨迹方程，利用几何意义即可的结果；（2）根据（1）的结论化简 即可得结论.试题解析：（1）设，则所以，又可得 表示点到点的距离，所以最小值为 解方程组并结合图形得 （2）又，所以为纯虚数【 思路点晴】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算和复数模的概念及复数的
14、几何性质，属于难题题解题时一定要注意和运算的准确性，否则很容易出现错误解本题的关键是先利用复数的模长公式列方程解出的值，然后根据复数的乘法、除法的运算法则和的性- 10 -质化简 +，最后再根据复数的几何意义求出的范围.；，（） 19. 某中学将 100 名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班 50 人.陈老师采用 A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图（如下图）.记成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”0.050.010.0013.8416.63510.828(I)从乙班
15、随机抽取 2 名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为，求的分布列和数学期望；(II)根据频率分布直方图填写下面 2 x2 列联表,并判断是否有 95的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关.甲班（A 方式）乙班(B 方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计- 11 -附： 【答案】()答案见解析；()答案见解析.【解析】试题分析：(1)结合题意可得的可能值为 0,1,2.，结合超几何分布求得分布列，然后计算数学期望可得；(2)首先完成列联表，结合列联表计算可得：根据列联表中数据可得有 95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.试题解析：（I）由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数为 4.的可能值为 0,1,2.，故的分布列为012P所以，（II）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 12、38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 4、46.甲班(A 方式)乙班(A 方式)总计成绩优秀12416成绩不优秀384684总计5050100- 12 -根据列联表中数据，由于 4.7623.481，所以有 95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关20. 数列满足，前 n 项和（1）写出；（2）猜
