《（春季拔高课程）2017-2018年九年级数学 第3讲 二次函数探究—二次函数与直角三角形的综合问题教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（春季拔高课程）2017-2018年九年级数学 第3讲 二次函数探究—二次函数与直角三角形的综合问题教案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1二次函数与直角三角形的综合问题二次函数与直角三角形的综合问题知识点知识点二次函数综合；勾股定理；相似三角形的性质；教学目标教学目标1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题 2灵活运用数形结合思想教学重点教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；知识讲解知识讲解 考点考点 1 1 二次函数的基础知识二次函数的基础知识1.一般地，如果 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数且 a0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当 b=c=0 时，二次函
2、数 y=ax2是最简单的二次函数2.二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（xx1） （xx2） ，通常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于 y=ax2+bx+c 而言，其顶点坐标为（2b a，24 4acb a） 对于y=a（xh）2+k 而言其顶点坐标为（h，k） ，由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点考点考点
3、2 2 勾勾股定理及逆定理股定理及逆定理 1.定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2=c2） 2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边为 c。 （2）验证 c2和 a
4、2+b2是否具有相等的关系，若 a2+b2=c2，则ABC 是以C 为直角的直角三角形。考点考点 3 3 探究直角三角形的一般思路探究直角三角形的一般思路探究直角三角形的存在性问题时，具体方法如下： （1）先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论； （2）找点：当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直角边时，需分情况讨论，具体方法如下： 当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时， 此交点即为符合条件的点； 当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交 点时，此交点即为符合条件的点；2（3）计算：把
5、图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形的各个边（表示 线段时，注意代数式的符号） 。再利用相似三角形的性质得出比例式，或者利用勾股定理进行计算，或 者利用三角函数建立方程求点坐标。3例题精析例题精析 例例 1 1 如图，已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点C(0，3)，对称轴是直线 x1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 BC 的函数表达式；（3）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于点 F，交抛物线于 P、Q 两点，且点 P 在第三象限当线段
6、3 4PQAB时，求 tanCED 的值；当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标4例例 2 2 如图，直线434xy和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C，点 A 的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC 是等腰三角形； （2）动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度 均为每秒 1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设 M 运动 t 秒时，MON 的 面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时，是否存在 S4 的情形？ 若存在，求出对应的
7、t 值；若不存在请说明理由； 在运动过程中，当MON 为直角三角形时，求 t 的值5例例 3 3 如图，矩形 OABC 中，点 O 为原点，点 A 的坐标为（0，8） ，点 C 的坐标为（6，0） 抛物线y= x2+bx+c 经过 A、C 两点，与 AB 边交于点 D（1）求抛物线的函数表达式； （2）点 P 为线段 BC 上一个动点（不与点 C 重合） ，点 Q 为线段 AC 上一个动点，AQ=CP，连接 PQ，设 CP=m，CPQ 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数表达式，并求出 m 为何值时，S 取得最大值；当 S 最大时，在抛物线 y= x2+bx+c的对称轴 l 上若存在点 F，
8、使FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的 F 的坐标；若不存在，请说明理由6例例 4 4 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是（4，0） ，并且 OA=OC=4OB，动点 P 在过 A，B，C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 y 轴的垂线垂足为 F，连接EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标7课程小结课程小结有针对性的对勾股定理、相似三角形的性
9、质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与直角三角形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与直角三角形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出直角三角形，并能运用直角三角形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。例例 1 1【规范解答规范解答】 （1）设抛物线的函数表达式为2(1)yxn，代入点 C(0，3)，得4n 所以抛物线的函数表达式为22(1)423yxxx（2）由223(1)(3)yxxxx，知 A(1，0)，B(3，0)设直线 BC 的函数表达式为ykxb，代入点 B(3，0)和点 C(0，3)，得30,3.kbb 解得1k ，3b
10、所以直线 BC 的函数表达式为3yx（3）因为 AB4，所以334PQAB因为 P、Q 关于直线 x1 对称，所以点 P 的横坐标为1 2于是得到点 P 的坐标为17,24，点 F 的坐标为70,4所以75344FCOCOF，522ECFC进而得到51322OEOCEC，点 E 的坐标为10,2直线 BC:3yx与抛物线的对称轴 x1 的交点 D 的坐标为（1，2） 8过点 D 作 DHy 轴，垂足为 H在 RtEDH 中，DH1，13222EHOHOE，所以 tanCED2 3DH EH1(12, 2)P，265(1,)22P【总结与反思总结与反思】 1第（1） 、 （2）题用待定系数法求解
11、析式，它们的结果直接影响后续的解题 2第（3）题的关键是求点 E 的坐标，反复用到数形结合，注意 y 轴负半轴上的点的纵坐标的符 号与线段长的关系 3根据 C、D 的坐标，可以知道直角三角形 CDE 是等腰直角三角形，这样写点 E 的坐标就简单 了例例 2 2【规范解答规范解答】 （1）直线434xy与 x 轴的交点为 B（3，0）、与 y 轴的交点 C（0，4）RtBOC 中，OB3，OC4，所以 BC5点 A 的坐标是（-2，0），所以 BA5因此 BCBA，所以ABC 是等腰三角形（2）如图 2，图 3，过点 N 作 NHAB，垂足为 H在 RtBNH 中，BNt，4sin5B ，所以4
12、 5NHt如图 2，当 M 在 AO 上时，OM2t，此时211424(2)22555SOM NHtttt 此时0t2如图 3，当 M 在 OB 上时，OMt2，此时211424(2)22555SOM NHtttt此时2t5图 2 图 3把 S4 代入224 55Stt，得224455tt解得1211t ，2211t （舍去负值） 因此，当点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S4 的情形，此时211t 9如图 4，当OMN90时，在 RtBNM 中，BNt，BM 5t，3cos5B ，所以53 5t t解得25 8t 如图 5，当MON90时，N 与 C 重合，5t 不存在ONM90的可能所
13、以，当25 8t 或者5t 时，MON 为直角三角形图 4 图 5 【总结与反思总结与反思】1第（1）题说明ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点 M、N 同时出发，同时到达终 点 2不论 M 在 AO 上还是在 OB 上，用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的，用含 t 的式子表示 OM 要分类讨论 3将 S4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程 4分类讨论MON 为直角三角形，不存在ONM90的可能 例例 3 3【规范解答规范解答】 （1）将 A、C 两点坐标代入抛物线24 9yxbxc c8，436609bc，解得 b4 3， c8 ，抛物线的解析式为244893yxx （
14、2）OA=8，OC=62210ACOAOC过点 Q 作 QEBC 与 E 点，则3sin5QEABACBQCAC3 105QE m3105QEm221133315103522510102SCP QEmmmmm 当 m=5 时，S 取最大值；在抛物线对称轴 l 上存在点 F，使FDQ 为直角三角形，抛物线的解析式为244893yxx 的对称轴为3 2x ，D 的坐标为（3，8） ，Q（3，4） ，当FDQ=90时，F1（3 2，8） ，当FQD=90时，则 F2（3 2，4） ，当DFQ=90时，设 F（3 2，n） ，则 FD2+FQ2=DQ2，即2299841644nn，解得：762n ，1
15、0F3（3 2，762） ，F4（3 2，762） ，满足条件的点 F 共有四个，坐标分别为F1（3 2，8） ，F2（3 2，4） ，F3（3 2，762） ，F4（3 2，762） 【总结与反思总结与反思】1. 将 A、C 两点坐标代入抛物线244893yxx 即可求得抛物线的解析式；2. 先用 m 表示出 QE 的长度，进而求出三角形的面积 S 关于 m 的函数，化简为顶点式，便可求出 S 的最大值； 直接写出满足条件的 F 点的坐标即可，注意不要漏写例例 4 4【规范解答规范解答】解：（1）由 A（4，0） ，可知 OA=4，OA=OC=4OB，OA=OC=4，OB=1，C（0，4） ，B（1，0） 设抛物线的解析式是 y=ax2
