《（春季拔高课程）2017-2018年九年级数学 第2讲 二次函数探究—二次函数与等腰三角形的综合问题教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（春季拔高课程）2017-2018年九年级数学 第2讲 二次函数探究—二次函数与等腰三角形的综合问题教案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1二次函数与等腰三角形的综合问题二次函数与等腰三角形的综合问题知识点知识点二次函数综合；等腰三角形的性质与判定；相似三角形的性质；教学目标教学目标1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题 2灵活运用数形结合思想教学重点教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；知识讲解知识讲解 考点考点 1 1 二次函数的基础知识二次函数的基础知识1.一般地，如果 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数且 a0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当 b=c=
2、0 时，二次函数 y=ax2是最简单的二次函数2.二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（xx1） （xx2） ，通常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于 y=ax2+bx+c 而言，其顶点坐标为（2b a，24 4acb a） 对于y=a（xh）2+k 而言其顶点坐标为（h，k） ，由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，
3、顶点考点考点 2 2 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性 质”）。 3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。 7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线 是它的对称轴，等边三角
4、形有三条对称轴。 8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方 9.等腰三角形的腰与它的高的直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底 的一半的平方。 考点考点 3 3 探究等腰三角形的一般思路探究等腰三角形的一般思路 探究等腰三角形的存在性问题时，具体方法如下： （1）假设结论成立； （2）找点：当所给定长未说明是等腰的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下： 当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若 所画弧与数轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与数轴或 抛物线无交点或交点是定长的另
5、一端点时，满足条件的点不存在；2当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线有交 点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与数轴或抛物线无交点，则满足条件的点不存在。 以上方法即可找出所有符合条件的点； （3）计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添 加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解。3例题精析例题精析例例 1 1 如图，抛物线 y- x2+ x-4 与 x 轴相交于点、，与 y 轴相交于点，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点。是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）。
6、分别过 点、 作直线的垂线，垂足分别为、，连接、。（1）求点、的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形； （2）能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标，若不能，说明理由；（3）若将“是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）”改为“是抛物线在 x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。4例例 2 2 如图，已知抛物线 y= x2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知 A 点的坐标为 A（2，0） （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点 C 的坐标，连接
7、AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）试判断AOC 与COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由5例例 3 3 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为 A（3，0） ，与 y 轴的交点为 B（0，3） ，其顶点为 C，对称轴为 x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 M 为 y 轴上的一个动点，当ABM 为等腰三角形时，求点 M 的坐标；（3）将AOB 沿 x 轴向右平移 m 个单位长度（0m3）得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC重叠部分
8、的面积记为 S，用 m 的代数式表示 S6例例 4 4 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2（m+n）x+mn（mn）与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A位于点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 C（1）若 m=2，n=1，求 A、B 两点的坐标；（2）若 A、B 两点分别位于 y 轴的两侧，C 点坐标是（0，1），求ACB 的大小；（3）若 m=2，ABC 是等腰三角形，求 n 的值7例例 5 5 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 M（2，） ，顶点坐标为 N（1，） ，且与x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点 （1）求抛物线的解析式； （2）点
9、P 为抛物线对称轴上的动点，当PBC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标； （3）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使QBM 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明 理由8课程小结课程小结有针对性的对等腰三角形的性质、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与等腰三角形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与等腰三角形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出等腰三角形，并能运用等腰三角形的性质解决问题，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。例例 1 1【规范解答规范解答】 （1）抛物线解析式为 y= x2+ x4，令 y=0，即 x
10、2+ x4=0，解得 x=1或 x=5， A（1，0） ，B（5，0） 如答图 1 所示，分别延长 AD 与 EM，交于点 F；ADPC，BEPC，ADBE，MAF=MBE； 在AMF 与BME 中，MAF=MBE，MA=MB,AMF=BME；AMFBME（ASA） ， ME=MF，即点 M 为 RtEDF 斜边 EF 的中点，MD=ME，即MDE 是等腰三角形（2）能；抛物线解析式为 y= x2+ x4= （x3）2+，对称轴是直线 x=3，M（3，0） ；9令 x=0，得 y=4，C（0，4）MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形； 若 DEEM，由 DEBE，可知点 E、M、B
11、在一条直线上，而点 B、M 在 x 轴上，因此点 E 必然在 x 轴 上， 由 DEBE，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合，不符合题意，故此种情况不存在； 若 DEDM，与同理可知，此种情况不存在； 若 EMDM，如答图 2 所示设直线 PC 与对称轴交于点 N，EMDM，MNAM，EMN=DMA 在ADM 与NEM 中， EMN=DMA，EM=DM,ADM=NEM=135；ADMNEM（ASA） ，MN=MA抛物线解析式为 y= x2+x4= （x3）2+，故对称轴是直线 x=3，M（3，0） ，MN=MA=2，N（3，2）设直线 PC 解析式为 y=kx+b，点
12、 N（3，2） ，C（0，4）在抛物线上， ，解得 k=2，b=4，y=2x4，将 y=2x4 代入抛物线解析式得 2x4= x2+x4解得 x=0 或 x= ，当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时，y=2x4=3P（ ，3）综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ，3）（3）能；如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N；与（2）同理，可知若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M；MDME，MAMN，DMN=EMB 在DMN 与EMB 中，DMN=EMB，MD=MB,MDN=MEB=45；DMNEMB（ASA） ， MN=MB；N（3，2） 设直线
13、 PC 解析式为 y=kx+b，点 N（3，2） ，C（0，4）在抛物线上，10，解得 k= ，b=4，y= x4，将 y= x4 代入抛物线解析式得 x4= x2+x4，解得 x=0 或 x= ，当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时，y= x4= ，P（，）综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ， ）【总结与反思总结与反思】 （1）在抛物线解析式中，令 y=0，解一元二次方程，可求得点 A、点 B 的坐标； 如答图 1 所示，作辅助线，构造全等三角形AMFBME，得到点 M 为为 RtEDF 斜边 EF 的中点，从 而得到 MD=ME，问题得证； （2）首先分析
14、，若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M；如答图 2 所示，设直线 PC 与对称 轴交于点 N，首先证明ADMNEM，得到 MN=AM，从而求得点 N 坐标为（3，2） ；其次利用点 N、点 C 坐标，求出直线 PC 的解析式；最后联立直线 PC 与抛物线的解析式，求出点 P 的坐标； （3）当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同；例例 2 2【规范解答规范解答】 （1）抛物线 y= x2+bx+4 的图象经过点 A（2，0） ， （2）2+b（2）+4=0，解得：b= ，抛物线解析式为 y= x2+ x+4，又y= x2+ x+4= （x3）2+，对
15、称轴方程为：x=3（2）在 y= x2+ x+4 中，令 x=0，得 y=4，C（0，4） ；令 y=0，即 x2+ x+4=0，整理得x26x16=0，解得：x=8 或 x=2，A（2，0） ，B（8，0） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B（8，0） ，C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得 k=，b=4，直线 BC 的解析式为：y=x+4（3）可判定AOCCOB 成立理由如下：在AOC 与COB 中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点 Q（3，t） ，则可求得：AC=，AQ=，CQ=当 AQ=CQ 时，有=，25+t2=t28t+16+9，解得 t=0，Q1（3，0） ；11当 AC=AQ 时，有=，t2=5，此方程无实数根，此时ACQ 不能构成等腰三角形；当 AC=CQ 时，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，点 Q 坐标为：Q2（3，4+） ，Q3（3，4） 综上所述，存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为：Q1（3，0） ，Q2（3，4+） ，Q3（3，4）
