《（春季拔高课程）2017-2018年九年级数学 第4讲 二次函数探究—二次函数与平行四边形的综合问题教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（春季拔高课程）2017-2018年九年级数学 第4讲 二次函数探究—二次函数与平行四边形的综合问题教案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1二次函数与平行四边形的综合问题二次函数与平行四边形的综合问题知识点知识点二次函数综合；平行四边形的性质及判定； 教学目标教学目标1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题 2灵活运用数形结合思想教学重点教学重点巧妙运用数形结合思想解决综合问题；教学难点教学难点灵活运用技巧及方法解决综合问题；复习预习复习预习 平行四边形的判定与性质 1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形两组对边分别相等；平行四边形两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分； 3. 判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边
2、形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 知识讲解知识讲解 考点考点 1 1 二次函数的基础知识二次函数的基础知识1.一般地，如果 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数且 a0） ，那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当 b=c=0 时，二次函数 y=ax2是最简单的二次函数2.二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标
3、才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（xx1） （xx2） ，通常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于 y=ax2+bx+c 而言，其顶点坐标为（2b a，24 4acb a） 对于y=a（xh）2+k 而言其顶点坐标为（h，k） ，由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点考点考点 2 2 探究平行四边形的一般思路探究平行四边形的一般思路在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下： （1）假设结论成立； （2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的
4、 3 个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有 两种： 第一种是：从给定的 3 个顶点中任选 2 个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作 出平行四边形；根据题干要求找出符合条件的平行四边形；2第二种是：以给定的 3 个定点两两组合成 3 条线段，分别以这 3 条线段为对角线作出平行四边形； 根据题干要求找出符合条件的平行四边形； （3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的 性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体 分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求
5、解。3例题精析例题精析 例例 1 1 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(4,0)、B(0,4)、C(2,0)三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，MAB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函 数关系式，并求出 S 的最大值； （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 yx 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标4例例 2 2 如图，抛物线322xxy与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴相交于点C，顶点为 D （
6、1）直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结 BC，与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点 P 作 PF/DE 交抛物线 于点 F，设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形？ 设BCF 的面积为 S，求 S 与 m 的函数关系5例例 3 3 如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B 两点（A 点在 B 点左侧） ，直线l与抛物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为 2 （1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； （2）P 是线段 AC 上的
7、一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值； （3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由A6例例 4 4 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（-3,0） ，点 B（1,0） ，交 y 轴于点 E（0，-3） ，点 C 是 点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点，直线 l 过点 F 且与 y 轴平行，直线 y=-x+m 过点 C， 交 y 轴于点 D. （1）求抛物线的函数
8、表达式； （2）点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H，与抛物线交于点 G，求线段 HG 长度的最大值； （3）在直线 l 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标.AxBCDHEFGKOxylABCDHEFGKOyl备用图备用图图图7课程小结课程小结有针对性的对平行四边形的性质及判定与二次函数的基础知识进行复习，有助于为研究二次函数与平行四边形的综合问题提供有利的依据。在探究二次函数与平行四边形的综合问题时，抓住已有的信息及条件在函数图像中构造出平行四边形，并能运用平行四边形的性质解决问题
9、，掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。例例 1【1【规范解答规范解答】(1) 因为抛物线与 x 轴交于 A(4,0)、C(2,0)两点，设 ya(x4)(x2)代入点B(0,4)，求得1 2a 所以抛物线的解析式为211(4)(2)422yxxxx(2)如图 2，直线 AB 的解析式为 yx4过点 M 作 x 轴的垂线交 AB 于 D，那么2211(4)(4)222MDmmmmm 所以2142MDAMDBSSSMD OAmm 2(2)4m 因此当2m 时，S 取得最大值，最大值为 4 (3) 如果以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：8当 OB 为一边时，
10、那么 PQ/OB，PQOB4设点 Q 的坐标为( ,)xx，点 P 的坐标为21( ,4)2xxx当点 P 在点 Q 上方时，21(4)()42xxx 解得22 5x 此时点 Q 的坐标为( 22 5,22 5) （如图 3） ，或( 22 5,22 5) （如图 4） 当点 Q 在点 P 上方时，21()(4)42xxx解得4x 或0x （与点 O 重合，舍去） 此时点 Q 的坐标为(4,4) （如图 5） 图 3 图 4 图 5 当 OB 为对角线时，PQ、OB 互相平分，PB/OQ（如图 6） ，此时点 Q 的坐标为(4,4) 图 6 【总结与反思总结与反思】 1求抛物线的解析式，设交点
11、式比较简便 2把MAB 分割为共底 MD 的两个三角形，高的和为定值 OA 3当 PQ 与 OB 平行且相等时，以点 P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形，按照 P、Q 的上下位置 关系，分两种情况列方程 例例 2【2【规范解答规范解答】 （1）A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） 抛物线的对称轴是 x1 （2）直线 BC 的解析式为 yx3 把 x1 代入 yx3，得 y2所以点 E 的坐标为（1，2） 把 x1 代入322xxy，得 y4所以点 D 的坐标为（1，4） 因此 DE=2因为 PF/DE，点 P 的横坐标为 m，设点 P 的坐标为)3,(mm，点 F 的坐标为)3
12、2, 0(2mm，9因此mmmmmFP3)3()32(22当四边形 PEDF 是平行四边形时，DE=FP于是得到232mm解得21m，12m（与点E 重合，舍去） 因此，当 m=2 时，四边形 PEDF 是平行四边形时 设直线 PF 与 x 轴交于点 M，那么 OM+BM=OB=3因此BMFPOMFPSSSSCPFBPFBCF21 21mmmm29 233)3(2122m 的变化范围是 0m3图 2 图 3 【总结与反思总结与反思】 1数形结合，用函数的解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长 2当四边形 PEDF 为平行四边形时，根据 DE=FP 列关于 m 的方程 3把BCF 分割
13、为两个共底 FP 的三角形，高的和等于 OB 例例 3【3【规范解答规范解答】解：（1）令 y=0，解得 x1=1 或 x2=3，A（1，0） ，B（3，0） ，将 C 点的横坐 标 x=2， 代入 y=x22x3，得：y=3，C（2，3） ；直线 AC 的函数解析式是：y=x1； （2）设 P 点的横坐标为 x（1x2） ，则 P、E 的坐标分别为：P（x，x1） ，E（x，x22x3） ，P 点在 E 点的上方，PE=（x1）（x22x3）=x2+x+2=（x1 2）2+9 4，当 x=1 2时，PE的最大值=9 4；（3）存在 4 个这样的点 F，分别是：F1（1，0） ，F2（3，0）
14、 ，F3（4+7，0） ，F4（47，0） 如图 1，连接 C 与抛物线和 y 轴的交点，那么 CGx 轴，此时 AF=CG=2，因此 F 点的坐标是（3，0） ；10如图 2，AF=CG=2，A 点的坐标为（1，0） ，因此 F 点的坐标为（1，0） ；因此 F 点的坐标为（1，0） ；如图 3，此时 C，G 两点的纵坐标关于 x 轴对称，因此 G 点的纵坐标为 3，代入抛物线中，即可得出 G 点的坐标为（17，3） ，由于直线 GF 的斜率与直线 AC 的相同，因此可设直线 GF 的解析式为：y=x+h，将 G 点代入后，可得出直线的解析式为：y=x+7因此直线 GF 与 x 轴的交点 F
15、 的坐标为：（4+7，0） ；如图 4，同可求出 F 的坐标为：（47，0） ；综合四种情况可得出，存在 4 个符合条件的 F 点【总结与反思总结与反思】1. 抛物线223yxx与 x 轴的交点即为 A 和 B，再将 A 和 C 带入求解直线方程。2. 将点 P 和点 E 坐标设出后，求解最大值。 3. 将已知 AC 边作为边或者对角线分类讨论求出点坐标。 例例 4【4【规范解答规范解答】 （1）设抛物线的函数表达式为 y=a(x-1)(x+3).抛物线交 y 轴于点 E（0，-3） ，将该点坐标代入得 a=1,抛物线的函数表达式为 y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.(2) 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 A 的坐标为（-3,0） ，点 B 的坐标（1,0） ，点 C 的坐标 （5,0）.11将点 C 的坐标代入 y=-x+m,得 m=5，直线 CD 的函数表达式为 y=-x+
