《哈工大计算机仿真2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《哈工大计算机仿真2（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2章 系统建模的基本方法与模型处理技术,本章教学目的及要求熟悉常用的数学模型及其特点掌握微分方程,传递函数,结构图,状态空间法的基本表达熟悉各种数学模型之间的相互转换,系统是我们研究的对象，模型是系统行为特性的描述，仿真则是模型试验。可以说，系统建模是系统仿真的基础，系统模型化技术是系统仿真的核心。 计算机仿真的前提是建立数学模型，本章只要介绍系统数学模型的建模原理，建立方法、以及模型之间的转换和处理方法。,概述,相似：相似是一种认识，我们认识的世界是真实客观世界的相似物。是普遍、绝对的。,相似性原理：就是按照某种相似方式或相似原则对各种事物进行分类，获得多个类集合；在每一个类集合中选取一个
2、具体事物对它进行综合性的研究，获得相关规律，这些规律可以推广到集合中的其它事物中去。相似具有自反性、对称性、传递性。,相似的方式：几何相似、模拟相似、数学相似、 感觉相似、生理相似。,2.1数学建模方法,建模过程中的信息源 a)建模目的 同一个系统中可以有多个研究对象或目的，它规定了建模的过程的方向，从而造成了系统描述不是唯一的。如仅需要了解系统与外界相互作用的关系，那么可以建立一个以输入输出为主的系统外部行为模型，而若需要了解系统的内在活动规律，就要设法建立一个描述系统输入集合、状态集合及输出集合之间关系的内部结构状态模型。 b)先验知识 很多的实际系统已经被前人研究过，而且有些部分经过长期
3、的研究已积累了丰富的知识并形成了一个科学分支。在这个分支中，已经发现了许多的原理、定理和模型。前人的研究成果可以作为后人解决问题的起点。 c)实验数据 实际系统除了适用普遍的原理之外，还有特殊性。即使是两个相同的系统，在不同的环境条件下，所表现出的特性也不会完全一样。因此对实际系统的实验和测量是掌握系统自身特性的重要手段。通过实验可以获得一定数量的实验数据，这些实验数据是建立系统模型的又一个重要信息来源。,2 建模原则精确性 精确性是模型与真实客体的相似程度的标志 。合理性 模型是对被研究实体在特定条件下的相似性复现。因此，在模型建立前，合理地提出模型的适用条件是十分必要的；复杂性 在满足所需
4、模型精度的前提下，应对模型进行合理的简化。降低模型的阶数和简化模型结构是降低模型复杂程度的主要办法。应用性 对模型中描述变量的选择应该从实际出发，遵循输入量可以测量的原则；鲁棒性 模型的适应性不仅与模型的精度有关，而且还与模型的结构、参数等有关。,3 建模方法 演绎法 通过定理、定义、公理以及已经验证了的理论推演得出数学模型。这是最早的一种建模方法，这种方法适用于内部结构和特性很明确的系统，可以利用已知的定律，如：力、能量等平衡关系来确定系统内部的运动关系，大多数工程系统属于这一类。电路系统、动力学系统等都可以采用这种演绎法来建立数学模型。 归纳法 通过对大量的试验数据分析、总结，归纳出系统的
5、数学模型。对那些内部结构不十分清楚的系统，可以根据对系统的输入、输出的测试数据来建立系统的数学模型。 混合法 这是将演绎法和归纳法互相结合的一种建模方法。通常通过先验的知识确定系统模型的结构形式，再用归纳法来确定具体的参数。,4 模型可信性,模型的可信度就是指模型的真实程度。模型的可信性分析是一个十分复杂的问题，它取决于模型的种类，又取决于模型的构造过程。模型本身可通过试验在不同的水平上建立起来，因此也可以区别不同的可信程度水平。一个模型的可信性可以分为： 1）在行为水平上的可信性(过去)，即模型是否能重现真实系统的行为。 2）在状态结构水平上的可信性(将来) ，即模型是否与真实系统在状态上互
6、相对应，通过这样的模型可以对未来的行为进行唯一的预测。 3）在分解结构水平上的可信性(内部) ，即模型能否表示出真实系统内部的工作情况，而且是唯一地表示出来。,5 建模的一般过程,2.2确定型系统的数学模型,2.2.1连续时间系统的模型,1.微分方程,最基本、最重要的数学模型是微分方程，它反映了元部件或系统动态运行的规律，采用解析法来建立系统或元部件的微分方程所遵循的一般步骤是： （1）确定系统或元部件的输入、输出变量。 （2）根据物理和化学定律（比如：牛顿运动定律、能量守恒定律、克希霍夫定律等）列出系统或元部件的原始方程式，按照工作条件忽略一些次要因素。 （3）找出原始方程式中间变量与其它因
7、素的关系式。 （4）消去原始方程式的中间变量，得到一个关于输入、输出的微分方程式。 （5）进行标准化处理，将输出各项放在等号左端，输入各项放在等号右端，并且按照微分方程的阶次降幂排列，同时将各系数化为具有一定物理意义的形式。,例2.1 已知如图2-6所示的RLC电路系统，其中u(t)为输入量，uc(t)为输出量，要求建立该系统的微分方程模型。根据电路的基本定律，可以列写出如式（1）的微分方程组，这是该电路系统的原始微分方程。,（1）,将所有原始微分方程合并为一个总的高阶微分方程。在该微分方程中只包含输入量、输出量及它们的导数项，式（1）消去中间变量i(t)后，可以得到如下的高阶微分方程形式的数
8、学模型,（2）,该微分方程的最高阶导数为2，所以称该微分方程为二阶微分方程，相应的系统为二阶系统，即系统的阶次等于相应的微分方程的阶次。一般情况下，系统的微分方程可以表示如下：其中u(t)是输入量，y(t)是输出量，且有,（3）,2.传递函数,1) 传递函数的定义对于一个线性定常系统，在初始条件为零时，系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比称为该系统的传递函数。 表示为：,2) 传递函数的求取按照传递函数的定义，利用系统的微分方程进行相应的拉氏变换，即可得到系统的传递函数。,例2.2 对于例2.1中RLC电路，已知它的高阶微分模型如式(2)所示，设初始条件为零，两边取拉普拉斯变换得,进
9、一步求得相应的传递函数为,一般情况下式(3)所示的系统为零初始条件，对它的两边取拉普拉斯变换得：,3) 传递函数的性质根据线性定常系统的传递函数表达式的分析，传递函数具备下列性质：(1) 传递函数是描述线性系统或元部件动态特性的一种数学模型，在形式上与系统的微分方程一一对应。若将s看成为微分算符，即,(2) 传递函数只表明输入变量与输出变量之间的动态关系，不能够反映出系统内部的信息。(3) 传递函数只能直接反映系统在零初始状态下的动态特性，即在零时刻之前，系统在给定工作点处是相对静止的；若系统处于非零初始状态下，则传递函数无法反映系统的特性和运动规律，需要作其它方面的处理。,则系统的高阶微分方
10、程模型与传递函数之间有着十分简单的相互转换关系。,（4）传递函数完全由系统的结构、参数确定，而与输入信号的形式无关，它反映了系统本身的动态特点。对于同一系统，当选取不同的输入量和输出量时其传递函数是不同的。 （5）同一个系统，对于不同作用点的输入信号和不同观测点的输出信号之间，传递函数具有相同的分母多项式，所不同的是分子多项式。在分析系统性能时，常将传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系统响应的基本特点和动态本质。 （6）实际系统中，传递函数的分母多项式阶次n总是大于分子多项式阶次m，这是因为控制系统总是存在“惯性”，且外部提供的能量是有限的。（7）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它
11、看出实际系统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传递函数表示。,(8)系统的传递函数等于系统的单位脉冲响应的拉普拉斯变换；设g(t)表示系统的单位脉冲响应，即当系统的输入为单位脉冲函数(t)时、系统的输出为g(t)，根据传递函数的定义，显然有：,(9)当系统中包含有纯延时环节时，传递函数具有如下的形式：,其中，G0(s)表示通常的有理传递函数，T表示纯时延的大小。（根据拉式变换的延时特性）,例2.3 系统的微分方程为,则该系统包含了纯时延环节，T表示延时的大小，两边取拉普拉斯变换得,进一步得到传递函数,3.状态方程,前面介绍的微分方程和传递函数描述方法仅仅描述了系统的外部特性，即仅
12、确定了输入和输出之间的关系，故称为系统的外部模型。为了描述一个连续系统内部的特性及其运动规律，即描述组成系统的实体之间相互作用而引起的实体属性的变化情况，通常采用“状态”的概念。动态系统的状态是指能够完全刻画系统行为的最小的一组变量。研究系统主要就是研究系统状态的改变，即系统的进展，状态变量能够完整地描述系统的当前状态及其对系统未来的影响。换句话说，只要知道了t=t0时刻的初始状态向量x（0）和tt0时的输入u(t)，那么就能完全确定系统在任何tt0时刻的行为。状态方程是一阶微分方程组形式的数学模型，每个方程只包含一个变量的一阶导数，方程的个数便等于未知变量的个数，这些未知变量也被称为状态变量
13、，它们是系统中的独立变量，这些状态变量完全确定了系统的状态，其个数就等于系统的阶次。,状态方程引入了系统的内部变量状态变量，因而状态方程 描述了系统的内部特性，也被称为系统的内部模型。,例2.1中，选i(t)和uc(t)为状态变量（在电路中经常选择电感电流与电容电压作为系统的状态变量），根据原始的微分方程式（1）可以求得如下的一阶微分方程组形式的数学模型即状态方程形式的数学模型。,（4）,对于式（4）所示的一阶微分方程组，只要已知输入量函数u(t)及初始条件i(0)和Uc(0) ，即可解得i(t)和Uc(t)。对于一阶微分方程组，比较适合于用计算机数值求解。 本例中的输出为,若令,（5）,则式
14、 （4），式（5）可以写成标准形式的状态方程,（6）,建立系统状态方程模型的一般步骤为： 1) 根据物理规律列写原始微分方程； 2) 选择状态变量，并建立关于这些状态变量的一阶微分方程组； 3) 根据微分方程组写出标准的状态方程，同时根据所选的输出量写出相应的输出方程。,状态方程具备下列性质：,1) 状态向量的元素是一组独立的状态变量，它们完全决定了系统的状态，也就是说，只要给定了初值x(0)以及输入量函数u(t)(tt0)则系统的所有变量在tt0以后的运动便完全可知了。,其中P为nn阶非奇异矩阵，则,也可以作为系统的状态,的分量是x(t)的分量的线性组合。,2) 对于一个系统，其状态向量的选
15、择不是唯一的。例如，若原来选择的系统的状态向量为x，它满足式（6）所示的状态方程，那么若选择,向量。显然，,容易求得关于,的状态方程为,输出方程为,其中,4.结构图,结构图是描述系统的一种图形形式，是系统中每个元件或环节的功能和信号流向的图解表示。,1）结构图的组成符号、名称及功能 系统结构图的组成符号主要有以下4种：,信号线：带箭头的线段表示系统中信号的流通方向，并标明信号对应的变量。,引出点：表示信号从该点取出，从同一信号线上取出的信号，其大小、性质完全相同。,比较点：表示两个或两个以上的信号在该点进行叠加。,方框： 表示输入、输出信号之间的动态传递关系。,2）结构图的绘制步骤列出系统中各
16、元部件的微分方程，确定输入、输出变量。以典型环节或典型环节的组合来取代系统中的具体元部件， 将各环节的传递函数填入方框中，标出信号及其流向。按系统中信号的流向，把代表各环节的方框连接起来，即构成系统的结构图。方框图中给出了信息传递的方向，又标出了输入、输出的定量关系。,3）结构图的主要特点结构图的描述非常形象和直观，它将系统中各部分的相互联系一目了然地显示出来；利用结构图的等效变换和化简规则，可以比较容易地根据各个环节的模型求出整个系统的模型。也可以用来帮助求出从系统的输入到系统中某个其它变量之间的传递函数；可以简化从原始微分方程到标准微分方程之间的变换。 如由上图易得,整理后得到,从而得到整个闭环系统的传递函数为,例2.4 仍以例2.1中图2-6所示的RLC系统为例，其中u(t)为输入，uc(t)为输出。要求用结构图的方法求出从u(t)到uc(t)的传递函数。在例2.1中已经列出了该电路的原始微分方程为,对上式取拉普拉斯变换并加以整理得,根据上式可以画出系统的结构图如下。,对照图反馈控制系统的典型结构图，得,
