《2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性学案 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性学案 北师大版必修4（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、14.14.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.24.2 单位圆与周期性单位圆与周期性学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义.知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.思考 1 角的正弦、余弦分别等于什么？答案 sin ，cos .y rx r思考 2 对确定的锐角，sin ，cos 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案 不会.思考 3 若取|
2、OP|1 时，sin ，cos 的值怎样表示？答案 sin y，cos x.梳理 (1)对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的纵坐标v定义为角的正弦函数，记作vsin ；点P的横坐标u定义为角的余弦函数，记作ucos .(2)对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.知识点二 正弦、余弦函数的定义域思考 对于任意角，sin ，cos 都有意义吗？答案 由三角函数的定义可知，对于任意角，sin ，cos 都有意义.梳理 正弦函数、余弦函数的定
3、义域2函数名定义域正弦函数R R余弦函数R R知识点三 正弦、余弦函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则 sin v，cos u.当为第一象限角时，v0，u0，故 sin 0，cos 0，同理可得在其他象限时三角函数值的符号.梳理 正弦、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 知识点四 周期函数思考 由 sin(x2k)sin x(kZ Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗
4、？答案 2，4，6，2，等都是函数的周期.梳理 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期.特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2k(kZ Z，k0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中 2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期，简称为周期.1.函数f(x)x2满足f(36)f(3)，所以f(x)x2是以 6 为周期的周期函数.( )提示 周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(xT)f(x)，对于f(x)x2，f(0)0，f(06)f(6)36，f(0)f(06)，
5、f(x)x2不是以 6 为周期的周期函数.2.任何周期函数都有最小正周期.( )提示 对于常函数f(x)c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.3类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1 已知角终边上一点坐标求三角函数值例 1 已知终边上一点P(x，3)(x0)，且 cos x，求 sin 的值.1010考点 正弦、余弦函数定义的应用题点 已知角终边上一点坐标求三角函数值解 由题意知r|OP|，x29由三角函数定义得 cos .x rxx29又cos x，x.1010xx291010x0，x1.当x1 时，P(1，3)，此时 sin .312323 1010当x1 时，P(1
6、，3)，此时 sin .312323 1010综上，sin 的值为.3 1010反思与感悟 (1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则 sin ，cos y r .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便.x r(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练 1 已知角的终边过点P(3a，4a)(a0)，求 2sin cos 的值.考点 三角函数定义的应用题点 已知角终边上一点坐标
7、求三角函数值解 r5|a|.3a24a24若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，y r4a 5a4 5x r3a 5a3 52sin cos 1.8 53 5若a0 时，rk，是第四象限角，10sin ， ，y r3k10k3 10101 cos r x10kk1010sin 103330.3 cos (3 1010)101010(2)当k0，则为第一象限角，r2a，所以 sin ，3a2a32cos .a 2a1 2若a0，cos 0，则rx，5从而 sin ，cos ，2x5x2 55x5x55cos sin .3 55若x0，所以是第一或第二象限角.1210.若角的终边与直
8、线y3x重合且 sin 0，cos x0，sin xcos x0，y0；当x为第二象限角时，sin x0，cos x0，y4；当x为第四象限角时，sin x0，sin xcos x0，y2.故函数y的值域为4，0，2.|sin x| sin x|cos x| cos x2|sin xcos x| sin xcos x15.已知，且 lg(cos )有意义.1 |sin |1 sin (1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边与单位圆相交于点M ，求m的值及 sin 的值.(3 5，m)考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值14解 (1)，1 |sin |1 sin sin 0.lg(cos )有意义，cos 0.由得角的终边在第四象限.(2)点M 在单位圆上，(3 5，m)2m21，解得m .(3 5)4 5又是第四象限角，m0，m .4 5由三角函数定义知，sin .4 5
