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1、变分法简介,在前面的章节中，我们学习了分离变量法，积分变换法，和格林函数法。这些事规定了边界条件，能够严格求解的方法。 我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法。从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似,变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法， 变分问题即是求泛函的极值问题把定解问题转化为 变分问题，再求变分问题的解,变分法的优点:,(2) 变分法易于实现数学的统一化因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可
2、以转化为变分问题尤其是前面介施图姆刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施图姆刘维尔型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；,(1) 变分法在物理上可以归纳定律因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达；,(3) 变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨 （Ritz）法 由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；,(4) 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技
3、术领域都有十分广泛的应用,变分问题,变分法就是求泛函极值的方法变分问题即是求 泛函的极值问题,泛函变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广 为了说明泛函概念先看一个例题：,变分问题,式中,代表对,求一阶导数 我们称上述的,为,的泛函，而称,为可取的函数类，为泛函,的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数 的那种含义）类似于高等代数的映射。,一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合，,如果对于C的任一元素,在B中都有一个元素,与之对应，,则称,为,的泛函，记为,必须注意，泛函不同于通常讲的函数决定 通常函数值的因素是自变量的取值，而决定泛函的值 的因素则是函数的取形如上面
4、例子中的泛函T的变化 是由函数,本身的变化（即从A到B的不同曲线）,值，也不取决,所引起的它的值既不取决于某一个,于某一个,值，而是取决于整个集合C中,与,的函数关系,泛函的核,泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题更为一般而又典型的泛函定义为,不取决于X的值的变化，而是取决于y与x的函数关系,其中,称为泛函的核,泛函的极值变分法,对于不同的自变量函数,，与此相应的泛函,也有不同的数值找出一个确定的自变量函数,，使泛函,具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大 值统称为泛函的极值,引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变,为泛函,的极小值问题物理学中常见的有光学,
5、中的费马(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿(Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题,变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法,研究泛函极值问题的方法可以归为两类： 一、直接法， 把变分问题转化为直接求普通的多元函数的极值问题，如Ritz方法就是直接法 二、 间接法，把变分问题转化为解微分方程（欧拉方程）,变分,如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为,并定义与函数曲线,邻近的曲线（或略为变形的,曲线）作为比较曲线，记为,其中,是一个小参数；,是一个具有二阶导数的任意,选定函数，规定,它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛,函在极值处连续在研究泛函极值时，通常将,固定，,而令,
6、变化，这样规定的好处在于：建立了由参数,到泛函,值之间的对应关系，因此泛函,就成为了参数,的普通函数原来泛函的极值问题就成为,普通函数对,的求极值的问题同时，函数曲线,的变分定义为,因此可得,这里,代表对,求一阶导数,所以,即变分和微分可以交换次序,泛函的变分（由此正式进入变分）,在极值曲线,附近，泛函,的增量，定义为,依照上述约定，当,时，泛函增量,的线性,主要部分定义为泛函的变分，记为,在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用； 同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用因 此，通常称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的 方法为变分法,泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的因为
7、它 与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导 数的阶数等相关另外，在求泛函极值时，有的还要加 约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等,泛函的极值,上式为（Lagrange）方程，简称为E-L方程,此即泛函取极值的必要条件即泛函,的极值函数,必须是满足泛函的变分,的函数类,因此，,一、泛函的极值的必要条件欧拉拉格朗日方程,把泛函的极值问题称为变分问题,注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件 如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值,但对 于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往 间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问 题的，
8、只要解出E-L方程，就可以得到泛函的极值,E-L方程除了上面给出的形式之外， 另外还有四种特殊情况：,(1),不显含,且,因为,若,E-L方程等价于,(2),不依赖于,且,则E-L方程化为,(3),不依赖于,且,则E-L方程化为,由此可见,仅为,的函数,(4),关于,是线性的：,则E-L方程化为,对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量 函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：,2. 泛函表示为多个函数的积分形式,则与此泛函极值问题相应的E-L方程为,3. 泛函的积分形式中含有高阶导数,与此泛函极值问题相应的E-L方程为,4.泛函的积分形式中含有多元函数,设,为,的二元函数，则,
9、二、泛函的条件极值问题,在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件 的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制 条件,与此泛函极值问题相应的E-L方程为,即所谓的等周问题：相当于有边界问题了。,欧拉拉格朗日方程,这是通过,和,两点的,之下使泛函取极值的必要条件它实际上是一个关于,在附加条件,的二阶常微分方程其通解中含有三个参数，即,和两个积分,常数它们可由条件,来确定 .,和附加条件,.对应的Euler方程为,其通解为,代入边界条件可得,所以极值曲线为,在条件,下的极值曲线.,则偏导数,例,解,变分法的应用与联系,线性 非线性,推荐书籍：中国科学技术出版社数学分析图书变分法理论与应用 参考书籍：姚端正，数学物理方法,参考文献,
