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1、第一章 电磁场的数学物理基础,本章内容,1. 电磁场的物理模型,3. 矢量分析与场论基础,重点：,2. 源量和场量,返 回,4. 电磁感应定律,6. 麦克斯韦方程组,5. 全电流定律,1.1 电磁场的物理模型的构成,根据电磁现象和过程分析的物理模型构造的本质，可建立如下电磁场分析与电路分析的物理模型之间的对比关系。,电路分析：,电磁场分析：,(1) 给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述（泛 定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型； (2) 运用相应的分析计算方法； (3) 解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。,以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为:,1.1.
2、1 电磁场的基本物理量源量和场量,电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。源量 q(r,t) 和 i(t) 分别用来描述产生电磁场效应的两类场源。, 电荷是物质基本属性之一。 1897年英国科学家汤姆逊在实验中发现了电子。 19071913年间，美国科学家密立根通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为e =1.602177 3310-19 (单位:C)确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是 e 的整数倍。,1. 源量(电荷) q(r,t), 理想化实际带电系统的电荷分布形态为如下四种形式：（1）点电荷 q(r,t)： 单位：C。 （2）电荷
3、体密度 (r,t)： 单位：C/m3 （3）电荷面密度 (r,t)： 单位：C/m2 （4）电荷线密度 (r,t)： 单位：C/m, 类同于由物质密度 给定物质的质量m一样，现引入关于电荷的平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度分布的方式来给定带电体的电荷量。, 宏观分析时，场源电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。, 源于电荷定向运动的电流 i 定义为可见，电流i为一积分量，不是点函数。 鉴于电磁场空间中各点电磁现象和过程变化规律性分析的需要，必须引入对应于源量 i(t) 分布的点函数形式的描述 体电流密度(简称电流密度)J(r,t),其量
4、值为(单位: A/m2) (1-5) 其方向习惯上定义为正电荷运动的方向。,(单位:C/s或A) (1- 4),2. 源量(电流) i (t),磁感应强度（磁通密度）：B、单位：T。,3场量,电场强度：E、单位：N/C,V/m。,1.1.2 电磁场中的媒质及其电磁性能参数,1. 电磁性能参数,导电媒质：电导率、单位：S/m,2. 媒质的构成方程（本构关系）,电位移矢量：D、单位：C/m2。,磁场强度：H、单位：A/m。,构成方程（本构关系）：,1.2 矢量分析,1. 标量场和矢量场,标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 。 矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢
5、量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。,标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。,矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。,12 矢量分析,1.2.1矢量运算,标量积（点积）：,矢量积（叉积）：,1. 点函数在不同坐标系下的数学描述,例1.1 设标量点函数(r)在直角坐标系下的表示式为 (x，y，z)x2y2z，试写出该点函数在圆柱坐标系下的表示式，并以给定点的函数值验证该点函数与坐标系的选择无关。,解 由附
6、录一可知x cos，y sin，zz。代入之，即得在圆柱坐标系下，该点函数应记为(x，y，z)(，z)( cos)2( sin)2z 2z,1.2.2 坐标系统,正交坐标系统：直角坐标系(x,y,z)、圆柱坐标系(,z)和球坐标系(r,)。,设给定点P(x，y，z)，其直角坐标为x1，y1和z1；同样由附录一可知该点P对应的圆柱坐标为 ，和z1。因此可得标量点函数(r)在直角与圆柱坐标系中对应于P点处的函数值分别为:P(x，y，z)P(1,1,1)= 12+12-1 = 1 和 P(，z)P( , ,1)( )2-1 =1 两者结果相同。同理可继续逐点验证，其结论是：点函数值与所采用的坐标系无
7、关。,1.2.3 矢量积分,环量积分：,通量积分：,线积分：,流速场,1.2.4 标量场的梯度,考察标量场等值面的变化率。设等值面方程为 (x,y,z) = C,标量场(x,y,z)在图中P点沿dl方向的变化率，此即方向导数为,图1-8 标量场梯度的图示,方向导数值与所选取的方向 dl 有关。记该 dl 方向的单位矢量为el，可知,定义,为标量场的梯度，记作,其中，,例1.2 设一标量点函数(r)(x，y，z) x2y2z描述了空间标量场。试求：(1)该点函数 在点P(1，1，1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；(2)求该点函数 沿单位矢量 el=cos60excos45eycos60
8、ez方向的方向导数，并以点P(1，1，1)处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,可见，标量场的梯度是一个矢量。此时，方向导数可改写成,解 (1)由梯度定义式(1-26),可解出待求P点的梯度为,表征其方向的单位矢量,(2) 由方向导数与梯度之间的关联式(1-25)可知，沿单位矢量el方向的方向导数为,对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为,而该点的梯度值按式(1-27)可得,为,显然，梯度 描述了P点处标量点函数 的最大变化率，即系最大方向导数，故 ，恒成立。,1.2.5 矢量场的散度,考察通量“源”在场中各点的分布情况。作包围 P 点的一相当小的封闭曲面 S 如图示，则当V
9、0时，即 V 收缩为 P 点时，定义通量 对于体积 V 的变化率的极限值为矢量 F 在 P点的散度，记作,直角坐标系下散度（ ）的表达式,设场量仅为空间坐标的函数； 不失一般性，令包围P点的微体积V 为一直平行六面体，如图1.9 所示。图1.9 divD 表达式的推导用图,由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为,同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点 P 穿出该六面体的净通量为而 ，故据定义式，在直角坐标系下散度 div D 表达式为应用纳布拉算子 ，则div D 可记作,可见，矢量场的散度是一个标量，它描述了矢量场在给定点的通量密度。若 divF =0，则表明该点没有产生通量的
10、“源”（无源）；若 divF 0，则表明该点有产生通量的“源”，divF 0 为正源，divF 0 为负源。,1.2.6 矢量场的旋度,考察环量“源”在场中各点的分布情况。作一条围定面积为S的微小的有向曲线 l，令 en 为 S 的法向单位矢量，它与有向曲线 l 构成右螺旋关系，如图所示。记作,图 1-10 环量强度的图示,可见，矢量场的旋度是一个矢量，其方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，且为获得最大环量位置的面积元的法线方向 en ；其大小表征了每单位面积上矢量场的最大环量。因此，旋度描述了旋涡源的强度。,图 1-11 直角坐标系下(curl F )z 表达式的推导用图,由旋度定义
11、可知，,可得,同理,代入环量计算式，有,由此根据旋度的定义式，有,同理，可得(curl F )x与(curl F )y的计算式。合成为一个矢量式，得矢量场的旋度为,或写成便于记忆的行列式，即,1.3 场论基础,1.3.1 散度定理,根据散度的定义:,1.3.2 斯托克斯定理,根据旋度的定义（1-33）,1.3.3 无散场与无旋场,1. 无旋场：无旋场是旋度恒为零的场，即,由矢量恒等式,可以看出，无旋场可以用另一个标量的梯度表达，即,一般称标量 是矢量场 F 的标量位。,矢量场的散度和旋度分别描述了产生矢量场的两种源，即发出或吸收通量线的散度源和产生旋涡场的旋涡源。,由于静电场的电场强度E的旋度
12、处处为零，静电场为无旋场，因此，电场强度E可以表示为标量电位 的梯度，通常令.,在矢量场中任取一个有向曲面S，将上式对此曲面进行面积分，则由斯托克斯定理可知，其结果等于 沿界定该曲面的围线 l 的线积分，即,恒等式的证明：,由梯度和方向导数的关系式，可得：,因此：,由于S是任选的，故：,2. 无散场：无散场是散度恒为零的场，即,由矢量恒等式,可以看出，任意矢量场 A 的旋度的散度恒等于零。,恒等式 的证明：,在矢量场A中任取一个由闭合面S所包围的体积V，将上式对体积V进行体积分，有散度定理可得：,现将闭合面 S 借助位于其表面上的一条闭合的有向曲线 l分割成两个开放的有向曲面 S1 和S2，如
13、图所示，应用斯托克斯定理，分别得到：,和,故：,所以：,由于体积 V 是任选的，故：,可以看出，无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即,一般称矢量A是矢量场F的矢量位。,恒定磁场的磁感应强度B的散度处处为零，恒定磁场是一个无散场，因此，磁感应强度B可以表示矢量磁位A的旋度，即 。,1.3.4 亥姆霍兹定理：,若矢量场 F(r) 在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域 V中，则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即,式中,可见，对于无界空间，当所论矢量场的散度和旋度均为零时，即 (r) = 0 与 A(r) = 0，则矢量场
14、 F(r) 也随之消失。,亥姆霍兹定理的简证,假设在无界空间中有两个矢量函数F和G，它们有相同的散度和旋度，即：,若令:,对上式取散度得：,对上式取旋度得：,由矢量恒等式（1-46）可令,故可得：,由于拉普拉斯方程定义的场，场内函数不会出现极值，因此只能是一常数，故,所以,故,基于亥姆霍兹定理，可对各种类型的电磁场给出如下规律性的描述：(1)无旋场：若场中旋度处处为零，即F(r)0，但其散度F(r)0，则该矢量场F(r)被称为无旋场。由亥姆霍兹定理可知，此时F(r)(r)，由此可见，无旋场F(r)也可通过一个标量函数(r)的引入，等价于该标量梯度场的描述。例如，静电场满足无旋性，E(r)=0，
15、即可借助于标量电位函数(r)的引入，使无旋的矢量场E(r)的描述等价于标量电位梯度场(r)的描述。(2)无散场(无源场或称管量场)：若场中散度处处为零，即F(r)0，但其旋度F(r)0，则该矢量场F(r)被称为无散场。例如，恒定电流的磁场即为一例，满足基本方程B(r)=0和B(r)Jc。(3)一般的矢量场：若场中散度和旋度均不为零，即F(r)0，F(r)0，这类场属一般的矢量场。此时，矢量场F(r)的解答即由式(1-49)给出。,1.4 电磁场的基本规律-麦克斯韦方程组,1.4.1 电磁感应定律,回路中感应电动势的大小与穿过回路的磁通随时间的变化率成正比。,（1）动生电动势 磁场不随时间变化，回路切割磁力线,动生电动势,（2）感生电动势 磁场随时间变化，回路不变,感生电动势,
