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1、1,1.5 集合的划分与覆盖,分门别类的思想是我们认知世界的基本方法之一。我们在了解与掌握外部世界时习惯于采用分类处理的办法。集合的分类，即对所处理的对象进行科学分类正是这种思想的体现。,2,集合覆盖,3,集合覆盖,4,二 集合划分(分类),5,1 定义 若把一个集合A分成若干个叫做块的非空子集，使得A中每个元素至少属于一个块，那么这些块的全体构成的集合叫做A的一个覆盖。 又若A中每个元素属于且仅属于一个块，那么这些块的全体构成的集合叫做A的一个划分（或分划，分类)。,6,设A是任意集合，P(A)。如果下列3个条件成立： 1) ； 2) 任意 Ai, Aj ，有 AiAj = ; 3) 则称是
2、集合A的一种划分。,7,1）划分是覆盖的特例情形，即划分一定是覆盖，但覆盖不一定是划分； 例： 设A=a,b,c, 则a,b,b,c是A的覆盖，但 不是A的划分。 2）对空集合一般不讨论划分问题，约定其划分不存在； 3）非空集合A的划分方法一般有多种。,8,例 设A = a, b, c, 则A的所有不同的划分有:,最大划分,最小划分,9,10,2 交叉划分,设集合A有两种划分,定理,则 是A的一种划分，称为是的 交叉划分。,11,给定集合A的两种按如上形式定义的划分1, 2，若对于任意Ai 1，均存在Bj 2，使得 Ai Bj，则称划分1是2的加细划分。,12,例,定理：任何两种划分的交叉划分
3、，都是这两种划分的加细。,13,14,有限集合的所有划分个数,设|A| = n，A的不同划分的个数为N，S(n, k)表示将n个元素的 集合划分成k个块的方案数，则,且有以下等式成立：,15,定理 对于n1，下列关于S(n, k)的递推关系成立： 证: 取n元集A的某一元素a,将A分成k个块分成两类情况讨论： 一类是a作为单独一块的,一类是a不是单独一块的.第一类的划分数为S(n-1,k-1)； 第二类的划分分成两步来实现,一步为将A中除了元素a划分成k块,第二步将a放入某一块中，有k种放法.由乘法原理得第二类的划分数为kS(n-1,k).最后由加法原理，定理得证.,16,由数学归纳法，可以证明以下定理 定理：对于,下列公式成立：,
