《指数函数》

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1、14.2.1 指数函数及其图像与性质【教学目标教学目标】1.知识与技能目标：使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。2.过程与方法目标：在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。3.情感态度与价值观：让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。【教学重、难点教学重、难点】教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。教学难点：指数函数性质的归纳与运用。【教学方法教学方法】我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。本节课概念

2、性比较强，而且突 出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动 手能力、观察能力比较强。因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具， 让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学 课堂还给学生。【教学过程教学过程】1.1.流程流程（1）教学流程：创设情境激发兴趣引出新知形成概念深入探究引导发现巩固提高灵活运用归纳总结新知梳理分层作业共同提高（2）学生认知流程：初步感知形成概念深入体验强化新知知识拓展2.2.教学过程设计教学过程设计2环节教学内容师生互动设计意图一、创设情境 激发兴趣

3、动一动、想一想：动一动、想一想：一张纸对折几次，与课本的厚度相接近？若条件允许，你们知道一张纸对折 20 次有多高吗？问题问题 1.1. 观察折纸过程中，求对折次数 x 与所得纸的层数 y 的关系式。问题问题 2.2.庄子曰：一尺之棰，日取其半 ，万世不竭。求木棒长度 y 与经历天数 x 的关系式。学生：学生：动手并思考。教师提示：教师提示：1.课本 150 页, 75 层纸。2.一张纸大约厚 0.1 毫米，学生：学生：能得出 x 与 y 的关系式为：xy2教师引导得：教师引导得：2 ,xyxN师生：师生：一起分析得出 x 与y 的关系式为： 1( ) ,2xyxN让学生动手去发现，激发他们的

4、学习积极性。这两个问题为指数函数概念、形式的给出奠定基础.同时，也为下面指数函数的图像的研究提供了原材料。过程小结这一过程让学生体会到生活中中处处有数学，处处用数学，从而激发他们学习热情和探索新知的欲望。二、引出新知，形成概念观察：观察：由问题 1、2 得到的两个函数关系式： 与2 ,xyxN1( ) ,2xyxN并思考它们有什么共同的形式特点？（一）指数函数的定义：（一）指数函数的定义：一般地，函数(0,1,)xyaaaxR叫做指数函数其中 x 是自变量，定义域为 R 强调：强调：1.1. 指数函数的解析式 yax中，ax的系数是 12.2. 规定底数 a0，且 a1。教师引导：教师引导：1

5、自变量 x 的位置？2底数是确定的还是变化 的？ 3函数右边从整体上看都 是什么的形式？ 学生思考并回答问题学生思考并回答问题。教师：教师：如果用 a 表示底数，再将定义域推广到实数集就得到指数函数的定义。教师：教师：板书课题及定义提问：提问：y23x是指数函 数吗？考虑到学生的实际水平，对于底数 a 的限制，只作简单的说明。理解底数 a 的限制条件 （a0，且a1），对学生 来说是比较困难 的。3例例 1 1判断下列函数是否为指数函数（1） （2）4xy xy4（3） （4）xy43xy 4学生：学生：各组派一名代表回答，并说明理由。增加该例题的目的在于使学生巩固指数函数的定义，从而加深理解

6、。同时，小题（4）为例 2 的求解做铺垫。过程小结这一过程的设计从两个具体的函数出发，到一般再到具体，比较符合职高学生的认知能力。4三、深入探究、引导发现（二）指数函数的图像与性质（二）指数函数的图像与性质1.1.绘制指数函数的图像绘制指数函数的图像（1 1）动画展示：）动画展示：的列表描点作图12 ( )2xxyy,方法。(1)列表：略 (2)描点： (3)连线：（2 2）教师演示：）教师演示：用几何画板软件工具绘制：函数y2x和 y( )x的图像。1 22.2.指数函数的性质指数函数的性质（1 1）动手操作：）动手操作：在几何画板上作出下列函数的图像： 42.3 4 ,( ) ,3xxxy

7、yy,。3( ) 0.7 ,0.355xxxyyy,教师：教师：函数的图象是研究 函数性质的有力工具，那 么指数函数的图象是怎样 的？如何作指数函数的图 象呢？学生：学生：描点法。教师：教师：由于这两个指12 ( )2xxyy,数函数的底数比较特殊，也便于计算，我们用描点法容易做到。为了让同学们了解更多、底数更一般的指数函数图象，也便于归纳图象的特征，下面主要结合几何画板来教学。学生：学生：观察记忆，学习如 何用几何画板绘制函数图 像。教师：教师：将这 6 道题写在纸片上，以抽奖形式让学生自由抽取。学生：学生：每组派一个学生上来抽取题目，然后使用几何画板来作图。传统、经典的函数作图方法列表描点

8、作图，旨在让学生对该方法的复习回顾，而利用软件工具绘制函数图像的方法则是本节课要给学生介绍的快捷、方便的作图方法。利用几何画板作图，学生兴趣很浓，而且图像非常美观。借助信息技术，既锻炼了学生使用计算机软件工具的能力，也增加教学容量。5三、深入探究、引导发现（2 2）动眼观察，产生猜想：）动眼观察，产生猜想：展示学生制作的 6 个函数图像（图 1，分开独立的 6 个图像；图 2，将它们放在同一坐标系下） ，让他们观察这 6 个指数函数图像有何共同的特征： 7654321-1-6-4-224684( )3xy 17654321-1-6-4-224680.35xy 17654321-1-6-4-22

9、4680.7xy 17654321-1-6-4-224682.3xy 17654321-1-6-4-2246814xy 7654321-1-6-4-2246813( )5xy 图图 1 1图图 2 2思考：能将他们分分类吗？这个图象特征与底数 a是否存在关系？引导学生大胆猜测：指数函数的图象按底数分成两类。教师：教师：让学生自由发挥， 说说他们观察到的有共性 的图像特征。学生：学生：容易发现：都过点（0，1） ；图像都在 x 轴上方；有的图像呈上升趋势；有的图像呈下降趋势。教师：教师：引导学生去观察图 像呈上升或下降这一图像 特征与它们的底数存在的 关系。学生学生:发现呈上升趋势的 3 个图象

10、，底数都大于 1；呈 下降趋势的 3 个图象，底 数都大于 0 小于 1；从而对 “指数函数图像形按底数 分成两类”形成初步的认 识。教师：教师：引导学生一起观察发现：底数大于 1 的三个函数，虽然它们的弯曲程度不同，但是都呈上升的趋势；底数大于 0 小于 1的三个函数也类似，形成“指数函数的图象按底数分成两类，即底数大于 1的指数函数图像呈上升趋势，底数大于 0 且小于 1的指数函数图像呈下降的趋势”这一猜想。学生很容易观察它们呈上升或下降的整体特征，从而对指数函数图像的分类形成初步的认识。让学生自己去动手操作、观察发现，并引导他们对所发现的知识进行归纳、分类，目的在于让学生成为数学课堂的主

11、人，同时努力达到“使学习过程成为学生愉悦的主动认知过程”这一目标。6三、深入探究、引导发现 （3 3）验证猜想：）验证猜想：使用几何画板让学生去观察：当取底大于 0 小于 1 的任何一个值时，虽然弯曲程度在变，但它们始终都呈单调递减趋势，底大于 1 也如此。由此验证了他们的猜想，也得到了指数函数的两类图象：（4 4）归纳指数函数的性质：）归纳指数函数的性质：通过前面对图像特征的充分认识，引导学生一起将这些图像特征转化成数学语言，即得到指数函数的性质。a10a1图 象定义域R值域(0，)定点恒过点（0,1） ，即当 x=0 时，函数值 y=0 单调性在 R 上是增函 数在 R 上是减函数练习练习

12、画出下列函数的简图：， xy3) 1 (x y 31)2(教师：教师：动画展示，验证猜想。教师：教师：引导学生对当 a1时的指数函数图象进行下列三个方面归纳整理： 经过的特殊点； 图象的范围（左右、上下方向） 图象从左向右的变化趋势（上升或下降）从而得到指数函数的性质，并整理成表格。学生：学生：完成当 0a1 时，指数函数图像的性质。学生：学生：动手作图。运用几何画板来验证猜想，这一过程也很好地维护了数学知识的严谨性。由特殊到一般，由感性到理性，从而顺理成章地总结出指数函数的性质，这符合人认识问题的一般规律，学生很容易接受让学生通过对比完成0a1 的情况，体验成功的喜悦，也加深对知识的理解。巩

13、固指数函数的图像的分类及特征。过程小 结这个环节中通过让学生动眼观察、动脑思考，并对猜想进行验证，在这一过程中不仅让学生的主体意识得以充分的体现，也让学生经历知识的产生和发展过程，感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维，从而有效的达到对知识的理解。7四、巩固提高 灵活运用例例 2 2判断下列函数在内的单调性,（1） （2） （3）xy5xy 332x y 解：（1）因为底数,所以，函数15 a在内是增函数。xy5,（2）因为， 底数x xxy 31)3(31,所以，函数在内是减131axy 3,函数。（3）因为，底数xxx y)2(22331 3 ,所以，函数在1259. 12

14、3a32x y 内是增函数。,思考题思考题: : 比较下列各题中两个值的大小：（1）_ （2）_ 251 . 252 . 0314 . 031师生：师生：（1）学生回答，教师板书；（2）教师适当地提示，学生完成.（3）学生独立完成。教师教师：引导学生结合例2（1） （2）函数性质进行分析，将单调性具体到对两个点进行讨论。例 2 的目的在于考察学生对本节课指数函数的定义及性质的理解程度， （1）的解决学生应该没有问题， （2）（3）的解决需要结合实数指数幂的运算，但是有了例 1 的铺垫，（2） （3）也就容易解决了。思考题也是指数函数性质的运用，有了例 2的铺垫，学生不难理解，培养学生数形结合分

15、析问题能力。五、归纳总结 新知梳理新知梳理：新知梳理：教师提问：教师提问：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？又掌握了哪些方法？对本节课知识进行整理，让学生领悟研究一个函数的方法和模式：从定义图象性质的过程。8六、分层作业 共同提高必做题：1写出一个指数函数，并画出其简图。2判断下列函数在内的单调性,（1）； （2）； （3）xy9 . 0xy)2(.23x y 选做题：1比较下列各题中两个值的大小：（1）_ （2）_ 47 . 02 . 47 . 0231 . 232.利用助学光盘中的软件“指数函数的图像与性质”作图，并将结果（截图）发送至“”邮箱：（1） 与xy5xy)51(（2） 与xy)23(xy)32(针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，其中必做题目的在于巩固新知，而选做题 1也是跳一跳就能够着的题目，增强学生的自信心。选做题 2 目的在于结合网络技术，锻炼学生的计算机软件工具的使用技能。【板书设计板书设计】【教学反思教学反思】4.2.1 指数函数及其指数函数及其图图像与性像与性质质