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1、1三次函数切线问题三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。设点 P 为三次函数图象上任一点，则过点 P 一定有直线与)0()(23adcxbxaxxf的图象相切。若点 P 为三次函数图象的对称中心，则过点 P 有且只有一条切线；若点 P 不是三)(xfy 次函数图象的对称中心，则过点 P 有两条不同的切线。证明 设 过点 P 的切线可以分为两类。),(11yxP1、 P 为切点 ，cbxaxxfk12 11/ 123)(切线方程为：)(23(112 11xxcbxaxyyP 不是切点，过 P 点作图象的切线，切于另一点 Q（）)(xfy 22, yx12122 12 23 13 212
2、12 2xxcxcxbxbxaxax xxyykcbxbxaxxaxax212 1212 2又 （1）cbxaxxfk22 22/ 223)(cbxbxaxxaxax212 1212 2cbxax22 223即 代入（1）式0)2)(1212abxxxxabxx22112得 cabbxaxk421 43212 12讨论：当时，得，21kk cbxax12 123cabbxax421 43212 1abx31当时，两切线重合，所以过点 P 有且只有一条切线。abx31当时，所以过点 P 有两条不同的切线。abx31 21kk 其切线方程为：)(23(112 11xxcbxaxyy)(421 43
3、(1212 11xxcabbxaxyy2由上可得下面结论：过三次函数上异于对称中心的任一点作图象的切)0()(23adcxbxaxxf),(111yxP)(xfy 线，切于另一点，过作图象的切线切于，如此继续，得到点),(222yxP),(222yxP)(xfy ),(333yxP列-，则，且当时，点趋近三次函数图象的对称),(444yxP),(nnnyxPabxxnn2211n中心。证明：设过与图象切于点的切线为， ),(nnnyxP)(xfy ),(111nnnyxP1nnPPcbxbxaxxaxaxxxyyknnnnnn nnnn 12 12 1 11又 cbxaxxfknnn12 11
4、/23)(=cbxbxaxxaxaxnnnnnn12 12 1cbxaxnn12 123即 0)2)(11abxxxxnnnnabxxnn2211设 则)(211nnxxab 3数列是公比为的等比数列， 3abxn211 1)21)(3(3n nabxabx即 。 abx nn3lim 2、过三次函数外一点的切线问题。设点为三次函数图象外，则过点一定有直线与),(00yxP)0()(23adcxbxaxxfP图象相切。)(xfy （1）若则过点恰有一条切线；,30abxP（2） 若且，则过点恰有一条切线；,30abx)3()(0abgxg0P（3） 若且=0，则过点有两条不同的切线；,30ab
5、x)3()(0abgxgP（4）若且，则过点,30abx)3()(0abgxg0有三条不同的切线。P3其中).)()()(0/ 0xxxfxfyxg证明 设过点作直线与图象相切于点P)(xfy ),(11yxQ则切线方程为 ),)(23(112 11xxcbxaxyy把点代入得：),(00yxP，02)3(200102 103 1cxdyxbxxaxbax设.2)3(2)(0002 03cxdyxbxxaxbaxxg,2)3(26)(002/bxxaxbaxxg,)3(448)3(42 002 0baxabxaxb令则, 0)(/xg.3,0abxxx因为恰有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交
6、一次，即在上为单调0)(xg)(xgy X)(xgy R函数或两极值同号，所以或且时，过点恰有一条切线。,30abx,30abx)3()(0abgxg0P有两个不同实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以0)(xg)(xgy X且=0 时，过点有两条不同的切线。,30abx)3()(0abgxgP有三个不同实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，0)(xg)(xgy X)(xgy 一个极小值，且两极值异号。所以且时，过点有三条不同的切线。,30abx)3()(0abgxg0P例题讲解：例 1、已知函数，求过点的切线方程。3yxx1, 0A例 2、 （2010 湖
7、北文数）设函数，其中 a0，曲线在点 P（0，321axxbxc32f（x）=xyf （）处的切线方程为 y=10f （）（）确定 b、c 的值。（）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：当xyf （）11xxf，（）22xxf，（）4时，12xx12()()fxfx（）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求 a 的取值范围。xyf （）例 3、已知函数321( )3f xxaxbx ,且( 1)0f(1) 试用含a的代数式表示 b,并求( )f x的单调区间；（2）令1a ,设函数( )f x在1212,()x x xx处取得极值，记点 M (1x,1()f x)，N(2x,
8、2()f x)，P(,( )m f m), 12xmx,请仔细观察曲线( )f x在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的 m (1x, x2)，线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点，试确定 t 的最小值，并证明你的结论； （II）若存在点 Q(n ,f(n), x n1 时, 121a 当 x 变化时，( )fx与( )f x的变化情况如下表：x(,1 2 )a(1 2 , 1)a( 1,) ( )fx+( )f x单调递增单调递减单调递增由此得，函数( )f x的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,) ，单调减区间为(1 2 ,
9、1)a。当1a 时，1 21a 此时有( )0fx 恒成立，且仅在1x 处( )0fx ，故函数( )f x的单调增区间为 R当1a 时，1 21a 同理可得，函数( )f x的单调增区间为(, 1) 和(1 2 ,)a，单调减区间为( 1,1 2 )a综上：当1a 时，函数( )f x的单调增区间为(,1 2 )a和( 1,) ，单调减区间为(1 2 , 1)a；当1a 时，函数( )f x的单调增区间为 R；当1a 时，函数( )f x的单调增区间为(, 1) 和(1 2 ,)a，单调减区间为( 1,1 2 )a.()由1a 得321( )33f xxxx 令2( )230f xxx得12
10、1,3xx 由（1）得( )f x增区间为(, 1) 和(3,)，单调减区间为( 1,3)，所以函数( )f x在处121,3xx 取得极值，故 M（51,3 ）N（3, 9） 。观察( )f x的图象，有如下现象：当 m 从-1（不含-1）变化到 3 时，线段 MP 的斜率与曲线( )f x在点 P 处切线的斜率( )f x之差 Kmp-( )fm的值由正连续变为负。8线段 MP 与曲线是否有异于 H，P 的公共点与 Kmp( )fm的 m 正负有着密切的关联；Kmp( )fm=0 对应的位置可能是临界点，故推测：满足 Kmp( )fm的 m 就是所求的 t 最小值，下面给出证明并确定的 t
11、 最小值.曲线( )f x在点( ,( )P m f m处的切线斜率2( )23fmmm；线段 MP 的斜率 Kmp245 3mm当 Kmp( )fm=0 时，解得12mm 或直线 MP 的方程为22454()33mmmmyx令22454( )( )()33mmmmg xf xx当2m 时，2( )2g xxx在( 1,2)上只有一个零点0x ，可判断( )f x函数在( 1,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又( 1)(2)0gg，所以( )g x在( 1,2)上没有零点，即线段 MP 与曲线( )f x没有异于 M，P 的公共点。当2,3m时，24(0)03mmg .2(2)(2)0
12、gm 所以存在0,2m使得( )0g即当2,3,m时MP 与曲线( )f x有异于 M,P 的公共点 综上，t 的最小值为 2.（2）类似（1）于中的观察，可得 m 的取值范围为1,3解法二： （1）同解法一.（2）由1a 得321( )33f xxxx ，令2( )230fxxx，得121,3xx 由（1）得的( )f x单调增区间为(, 1) 和(3,)，单调减区间为( 1,3)，所以函数在处取得极值。故M(51,3 ).N(3, 9)() 直线 MP 的方程为22454.33mmmmyx9由2232454 33 133mmmmyxyxxx 得32223(44)40xxmmxmm线段 MP
13、 与曲线( )f x有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数3222( )3(44)4g xxxmmxmm在(-1, m )上有零点.因为函数( )g x为三次函数,所以( )g x至多有三个零点,两个极值点.又( 1)( )0gg m.因此, ( )g x在( 1,)m上有零点等价于( )g x在( 1,)m内恰有一个极大值点和一个极小值点,即22( )36(44)0(1,)g xxxmmm 在内有两不相等的实数根.等价于2222236124403( 1)6(44)036(44)0 1mmmmmmmm m （）即1521,25 1mmmm m 或解得又因为13m ,所
14、以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2.作业：1、解：由，得，所以所求的切线方程为，即2( )33fxx( 2)15f1415(2)yx。1516yx2、错解：由，得，所以所求的切线方程为，即。2( )31fxx(1)2kf22(1)yx2yx错因剖析：此处所求的切线只说经过 P 点，而没说 P 点一定是切点，于是切线的斜率与不一k(1)f定相等。正解：设经过点 P（1，2）的直线与曲线 C 相切于点，则由，得在点处00(,)xy2( )31fxx00(,)xy的斜率，有在点处的切线的方程为。2 00()31kfxx00(,)xy2 000(31)()yyxxx又因为点与点 P（1，2）均在曲线 C 上，00(,)xy有，消去得，3 0002 00022(31)(1)yxxyxx0y32 0000(31)(1)xxxx解得或，于是或，01x 01 2x 2k 1 410所以所求切线方程为或。2yx19 44yx
