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1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法( (含答案含答案) )总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1.1.等腰三角形等腰三角形“
2、三线合一三线合一”法：法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.2.倍长中线：倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.3.角平分线在三种添辅助线角平分线在三种添辅助线4.4.垂直平分线联结线段两端垂直平分线联结线段两端5.5.用用“截长法截长法”或或“补短法补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.6.图形补全法：图形补全法：有一个角为有一个角为 6060 度或度或 120120 度的把该角添线后构成等边三角形度的把该角添线后构成等边三角形7.7.角度数为角度数为 3030、6060 度的作垂
3、线法：度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为遇到三角形中的一个角为 3030 度或度或 6060 度，度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形，然后的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。等三角形创造边、角之间的相等条件。8.8.计算数值法：计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或遇到等腰直角三角形，正方形时，或
4、 30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形，的特殊直角三角形，或或 40-60-8040-60-80 的特殊直角三角形的特殊直角三角形, ,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。DCBA常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底
5、边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形构造全等三角形2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作
6、边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等例 1、已知，如图A
7、BC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知EDFCBAAB-BE BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,OE
8、DCBA各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60 度,则BAC+BCA=120 度;AD,CE 均为角平分线,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度
9、=COD;又 CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=，AC=，求 AE、BE 的长.ab解：解：( (垂直平分线联结线段两端) )连接连接 BDBD，DCDCDG 垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD 平分BAC， DEAB 于 E，DFAC 于 F，故有EDDF故 RTDBERTDFC（HL）故有故有 BEBECFCF。AB+ACAB+AC2AE2AEAEAE（
10、a+ba+b）/2/2BE=(a-b)/2BE=(a-b)/2应用：应用：1、如图，OP是MON的EDGFCBA平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE （2
11、）答：（1）中的结论仍然成立。FDFE 证法一：证法一：如图 1，在 AC 上截取，连结 FG AEAG ，AF 为公共边，21AGFAEF， AFGAFEFGFE ，AD、CE 分别是、的平分线60BBACBCA603260AFGCFDAFE60CFG及 FC 为公共边43CFDCFGFDFG FDFE 证法二：证法二：如图 2，过点 F 分别作于点 G，于点 H ABFG BCFH ，AD、CE 分别是、的平分线60BBACBCA可得，F 是的内心6032ABC，160GEFFGFH 又1BHDF HDFGEF可证DHFEGF FDFE 五、旋转五、旋转FEDCBA例1 正方形 ABCD
12、中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE，AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45 度例 2 D 为等腰斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt ABC(1)当绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MDN(2)若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。解：(计算数值法)（1）连接 DC，
13、 D 为等腰斜边 AB 的中点，故有 CDAB，CDDARt ABCCDCD 平分平分BCA90，ECDDCA45由于 DMDN，有EDN90由于 CDAB，有CDA90从而CDEFDA故有CDEADF（ASA）故有 DE=DF（2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1例3如图，ABC是边长为3的等边三角形， BDC是等腰三角形，且，0120BDC以D为顶点做一个060角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则 AMN的周长为 ；解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC 的延长线与 BD 的延长线交于点 F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBM
14、ABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN 和DEN 中，DM=DEMDN=EDN=60DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA 和DEF 中，DM=DEMDA=60- MDB=60- CDE=EDF (CDE=BDM)DAM=DFE=30DMNDEN (AAS)，MA=FE 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6AMN
15、应用：应用：1、已知四边形 ABCD中，ABAD，BCCD， ABBC，120ABC ，60MBN ， MBN绕B点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长线）于EF，当绕点旋转到时（如图 1） ，易证MBNBAECFAECFEF当绕点旋转到时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成MBNBAECF立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出AECF，EF你的猜想，不需证明解：（1），ADAB CDBC BCAB CFAE （SAS） ；CBFABE，CBFABEBFBE ，120ABC60MBN，为等边三角形30CBFABEBEF，BFEFBEBEAECF21EFBECFAE（2）图 2 成立，图 3 不成立。N证明图 2，延长 DC 至点 K，使，连接 BKAECK 则BCKBAE，BKBE KBCABE
