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1、大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)1 1全国大学生竞赛历年试题名师精讲全国大学生竞赛历年试题名师精讲 （非数学类）（非数学类） （2009200920132013）大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)2 2第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类）（非数学类） 一、一、解答下列各题（每小题解答下列各题（每小题 6 6 分共分共 2424 分，要求写出重要步骤）分，要求写出重要步骤）1.求极限.2lim 1 sin14nnn 解解 因为（2 分） ；222sin14sin142sin 142nnn nn 原式 22lim 1 sine
2、xp lim ln 1 sin 142142nnnn nnnn (2 分)；(2 分)1 4 22exp lim sinexp lim 142142nnnne nnnn2.证明广义积分不是绝对收敛的0sin xdxx 解 记，只要证明发散即可。（21sinnn nxadxx 0n na分）因为。（2 分）10112sinsin111nn nax dxxdxnnn 而发散，故由比较判别法发散。02 1nn 0n na（2 分） 3.设函数由确定，求的极值。 yy x323322xx yy y x解 方程两边对求导，得 （1 分）x22236360xxyx yy y故，令，得或（2222 2x x
3、yyyx 0y 200x xyx2xy 分） 将代入所给方程得，2xy 2,1xy 大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)3 3将代入所给方程得，（2 分）0x 0,1xy 又 2222222222422xxyyyxx xyyyxy yx ， 0,1,02,1,0200220010,10 20xyyxyyyy 故为极大值，为极小值。（3 分） 01y 21y 4.过曲线上的点 A 作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平30yx xx面图形的面积为，求点 A 的坐标。3 4 解 设切点 A 的坐标为，曲线过 A 点的切线方程为3, tt33213ytxt t（2 分） ；令，由切线方程得
4、切线与轴交点的横坐标为。0y x02xt 从而作图可知，所求平面图形的面积，333013321244t St ttxdxt tt 故 A 点的坐标为。（4 分） 1,1二、二、 （满分（满分 1212）计算定积分）计算定积分2sinarctan 1 cosxxxeIdxx解 022 0sinarctansinarctan 1 cos1 cosxxxxexxeIdxdxxx（4 分）22 00sinarctansinarctan 1 cos1 cosxxxxexxedxdxxx（2 分）22 00sinsinarctanarctan1 cos21 cosxxxxxxeedxdxxx（4 分）22
5、 0sin 21 cosxdxx大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)4 4 （2 分）230arctancos28x 三、三、 （满分（满分 1212 分）设分）设在在处存在二阶导数处存在二阶导数，且，且。证证 f x0x 0f 0lim0 xf x x明明 ：级数：级数收敛。收敛。11nfn解 由于在处可导必连续，由得 f x0x 0lim0 xf x x（2 分） 000limlim0 xxf xff xxx （2 分） 0000limlim00xxf xff xfxx由洛必塔法则及定义 （3 分） 2000011limlimlim02202xxxf xfxfxffxxx所以
6、（2 分） 21 1lim021nfnfn 由于级数收敛，从而由比较判别法的极限形式收敛。（32 11nn 11nfn分）四、四、 （满分（满分 1212 分）设分）设，证明证明 ,0f xfxaxb 2sinbaf x dxm解 因为，所以在上严格单调增，从而有反 0fxaxb f x, a b函数（2 分） 。设是的反函数，则 （3 分） ,Af aBf bf 110yfxm又，则，所以（3 分） f xAB sinsinbBxyaAf x dxyydy 大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)5 5 （2 000112sinsincosyydyydyymmm 分） 五、五、 （满
7、分（满分 1414 分）设分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积 分分。试确定曲面。试确定曲面，使积分使积分 I33323Ixx dydzyy dzdxzz dxdy的值最小，并求该最小值。的值最小，并求该最小值。 解 记围成的立体为 V，由高斯公式（3 分）22222236933231VVIxyzdvxyzdxdydz为了使得 I 的值最小，就要求 V 是使得的最大空间区域，即2222310xyz 取 ，曲面 （3 分）222, ,231Vx y z xyz222:231xyz为求最小值，作变换，则，23xuvywz 100 ,
8、 ,11002, ,6 1003x y z u v w从而 （4 分）222316VIuvwdudvdw使用球坐标计算，得21 2200031sin6Iddrrdr （4 分）03113 624 62cos453615156 六、六、 （满分（满分 1414 分）设分）设，其中其中为常数，曲线为常数，曲线 C 为椭圆为椭圆 22aa CydxxdyIr xy a，取正向。求极限，取正向。求极限222xxyyr limarIr 解 作变换（观察发现或用线性代数里正交变换化二次型的方法）2 2 2 2xuvyuv ，曲线 C 变为平面上的椭圆（实现了简化积分曲线） ，也uov22231:22uvr
9、是取正向 （2 分） 而且（被积表达式没变，同样简单！） ，2222,xyuvydxxdyvduudv大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)6 6 22aavduudvIr uv （2 分）曲线参数化，则有，2cos ,2 sin ,:023urvr 22 3vduudvr d （3 分） 2 22 2 1002222222 23 322cos2sincos2sin33a aaar ddIrrrr 令，则由于，从而20222cos2sin3aadJ 2222cos2sin233。因此当时或时（2 分）0aJ 1a lim0arIr 1a limarIr 而 2/21 2222001,
10、422cos2sincos2sin33ddaJ （3 分）/222000tan1222arctan2 3031121/31/3tan33ddttt 。故所求极限为 12323Ir 0,1 ,1 2 ,1aa Ira a （2 分）七（满分（满分 1414 分）判断级数分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。的敛散性，若收敛，求其和。11112 12nn nnL解 （1）记111,1,2,3,212n nnaaunnnn LL因为充分大时 （3 分）1 lnlim0, nnnn11011 lnnnadxnnx 所以，而收敛，故收敛（2 分）3 21012nnunnn3 121nn11112 12n
11、n nnL（2）记 ，则111,1,2,3,2kakk LL大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)7 71111112 121212nnn kkk n kkkaaakSkkkkkkL= （2 分）111122 2334112nnnnaaaaaaaa nnnnL= （2 分）1 21321111 23412n nnaaaaaaaannL= （2 分）11 11 1111123 24 3122nnaa nnnnn L因为，所以，从而，11011 lnnnadxnx 1 ln022nan nn1 lnlim02nn n故。lim02nna n 因此。 （也可由此用定义推知级数的收敛性）lim1 001nnSS （3 分）大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)8 8大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)9 9大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)1010大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)1111大学生数学竞赛大学生数学竞赛(高等数学高等数学)1212大学生数学竞赛大学生数
