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1、第三章 灰色系统理论与建模,一、灰色系统理论基础,1982年，北荷兰出版公司出版的系统与控制通讯杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，华中工学院学报发表邓聚龙教授的第一篇中文论文灰色控制系统，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生。 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。,1989年海洋出版社出版英文版灰色系统论文集，同年，英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、
2、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。,灰色系统理论基础,二、几种不确定方法的比较,概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。 模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。,几种不确定方法的比较,概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具
3、有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。 灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。,三、灰色系统建模,邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息、
4、实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特别的要求和限制，因此应用领域十分宽广。,（一）、数据的检验与处理,首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知 数据做必要的检验处理。设参考数据为 ， 计算数列的级比如果所有的级比 都落在可容覆盖 内，则数列 可以作为模型的数据进行灰色预测。,（二）、 建立GM(1, 1) 模型的一般过程（数据预处理）,累加生成。设 为原始序列 对 进行一次累加生成，得生成序列其中,GM(1, 1) 模型的一般过程（建立模型）,2. 建模。 由 构造背景值序列其中，一般取= 0.5 ,建立白化方程(影子方程)为 称之为GM(1
5、, 1)模型的原始形式,GM(1, 1) 模型的一般过程,这里，符号GM(1, 1)的含义如下：G M （1， 1）Grey Model 1阶方程 1个变量 将上式离散化，微分变差分，得到GM(1, 1)微 分方程如下：称之为GM(1, 1)模型的基本形式。,GM(1, 1) 模型的一般过程（求解参数）,其中a, b为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作量,a的有效区间是(-2, 1)。 3. 求解参数。 应用最小二乘法可经下式得：其中,GM(1, 1) 模型的一般过程（建立预测模型）,4. 建立预测公式,GM(1, 1) 模型的一般过程（模型检验）,5.检验模型 (1)求出 与 之残差 ，相
6、对误差求出原始数据平均值 , 残差平均值 :,GM(1, 1) 模型的一般过程（模型检验）,(2)求出原始数据方差 与残差方差 的均方差比值C和小误差概率p: 当 ， ， 时，模型精度 为一级。当发展系数 时, 则所建GM(1, 1) 模型则可用于中长期预测。,GM(1, 1) 模型的一般过程,精度检验等级参照表,级比偏差检验,(3)级比偏差值检验据数据预处理中的级比 和a求出级比偏差如果 ，则可认为达到一般要求；如果，则认为达到较高要求。,例题,设原始序列为：试用GM(1,1)模型对 进行模拟。,第一步,对 作一阶累加,第二步,对 作紧邻均值生成。令得,于是，,第三步,对参数列 进行最小二乘
7、估计。 得,第四步,确定模型及时间相应式,第五步,求 的模拟值,第六步,还原求出 的模拟值得,第七步,检验误差。 残差平方和平均相对误差,误差检验表,残差修正GM(1,1),若用 修正 则称修正后的时间响应式为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1),新陈代谢GM(1,1),设原始序列为：设 为最新信息，置入最新信息，去掉最老信息 ，称用建立的模型为新陈代谢GM(1,1),GM(1，1)模型的变换,GM增量模型对原始据时间序列采用特殊的预处理，即先进行一累减算子运算，分离出增量部分再对增量序列建立普通GM(1, 1)预测模型，最后再经式 还原成总量。我们称经过 这种变换的模型为灰色增
8、量模型(IGM模型)。,2.新初值GM模型以 为初始条件的GM模型,根据灰色系统理论的新信息优先原理，把 的第n个分量作为灰色微分模型的初始条件，可以 使模型精度有所提高。灰色微分方程 的时间响应 函数为 还原值,3.离散GM模型,称为离散GM(1, 1)模型，即DGM(1, 1)模型。 时间响应函数：这里，,还原值DGM(1, 1)模型是灰色预测模型的一种新形式，可 以全面解释原GM(1, 1)模型从离散形式到连续形式 转变问题，用DGM(1, 1)做纯指数增长序列预测模 拟，结果完全符合增长规律，解决了预测稳定性 问题。,4. 无偏GM(1,1)模型,在求出 之后, 得到模型：,无偏GM(
9、1,1)模型,令 再令，建立无偏GM(1, 1)模型 与传统的GM(1, 1)模型相比，无偏GM(1, 1)模型不存在传统GM(1, 1)模型所固有的偏差，因而就消除了传统GM(1, 1)模型在原始数据序列增长率较大时失效的现象，使得其应用范围变得更加广泛。此外，无偏GM(1, 1)模型无需进行累减还原，简化了建模步骤，提高了模型的计算速度。,无偏GM(1,1)模型,实际应用时，灰色模型维数的选择也影响到预测的精度。对于维数的选择将采用如下的方法：先由全部的个原始数据建立第一个无偏灰色预测模型，考虑所建立的模型是否符合实际要求，否则去掉 ，用剩余的 个数据建立第二个无偏灰色模型，看是否符合实际
10、要求，否则去掉 ，用剩余的 个数据建立第三个无偏灰色模型，依此类推，直到第 个数据被去掉为止。在所建立的 个无偏灰色模型中选择拟合 最优的曲线作为预测曲线。,二、灰色关联分析,一般的抽象系统，如社会系统，经济系统 ，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素， 多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态 势。我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主 要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展 影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素 对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统 发展起阻碍作用需抑制,数理统计中的回归分析，方差分析，主成分分 析等都是用来进行系统特征分析的方法。但数理 统计中的分析方
11、法往往需要大量数据样本，且服 从某个典型分布。灰色关联分析方法弥补了采用 数理统计方法作系统分析所导致的缺憾.它对样本 量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量 小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果 不符的情况。,灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几 何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线 越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越 小。例如某地区农业总产值,种植业总产值，畜 牧业总产值和林业总产值，从1997-2002年共6 年的统计数据如下：,从直观上看，与农业总产值曲线最相似的 是种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和林 果业总产值去与农业总产值曲线在几何形状上差 别
12、较大。因此我们可以说该地区的农业仍然是以 种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达 。,（一）关联度,关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度前应计算关联系数。（1）关联系数：设则关联系数定义为：,式中：为第k个点 和 的绝对误差为两极最小差为两极最大差成为分辨率， 一般取 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应 首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一 个数据,（2）关联度和 的关联度,关联度计算方法,1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。设 个数据序列形成如下矩阵：其中 为指标的个数。,2确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可 以以各
13、指标的最优值 （或最劣值）构成参考数 据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作,3对指标数据序列用关联算子进行无量纲化 （也可以不进行无量纲化），无量纲化后的数据 序列形成如下矩阵：,常用的无量纲化方法有均值化像法、初值化 像法等,4逐个计算每个被评价对象指标序列与参考 序列对应元素的绝对差值即 ； ； 5确定 与,6计算关联系数 分别计算每个比较序列与参考序列对应元素 的关联系数式中 为分辨系数，在（0，1）内取值， 越 小，关联系数间的差异越大，区分能力越强通 常 取0.5,7.计算关联度8依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果,灰色关联分析的应用举例,利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综 合评价。 1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学 工作量、科研成果、论文、著作与出勤 2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表,
