单级倒立摆建模与pd矫正

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1、武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 1 摘要 单级移动倒立摆控制系统是一个复杂的、 不稳定的、 非线性系统， 是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。本此课程设计对单级移动倒立摆的平衡问题进行了研究并采用串联 PD 校正实现了系统的的平衡控制。建立了系统的数学模型进行合理线性化，求出线性传递函数。并且设计串联 PD 校正装置， 使系统输出动态性能满足一定指标要求。使用 Matlab 软

2、件中的 SIMULINK 工具对倒立摆系统的运动进行了计算机仿真，并利用 Matlab 便捷的计算功能和绘图功能分析未校正系统的动态性能和校正后系统的各项性能。 关键字：单级移动倒立摆 串联 PD 校正 MATLAB 仿真 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 2 目录 摘要 1 1 单级移动倒立摆的建模及其线性化 2 1.1 单级移动倒立摆的物理建模 2 1.2 单级移动倒立摆的数学建模 3 1.3 单级移动倒立摆的数学模型线性化 4 2 单级移动倒立摆的串联 PD 校正 . 4 2.1 未校正系统的动态性能指标 4 2.2 系统的串联 PD 校正 9 2.3 校正后系统动态性能指标 .

3、11 3 校正前后系统比较 15 4 心得与体会 15 5 参考文献 . 16 1 单级移动倒立摆的建模及其线性化 1.1 单级移动倒立摆的物理建模 单级倒立摆系统物理模型如图 1 所示。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆在轻微干扰作用下就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法保持平图 1 单级倒立摆物理模型 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 3 衡。 若要倒立摆保持平衡， 那么在受外力干扰的作用下， 必须使小车水平方向方向通过移动来产生相应的加速度， 以抵消外力作用下的加速度。 假设干扰的作用是二维的， 即干扰力的方向只在平行于纸面的方向，依照惯性参考系下的牛顿力

4、学原理，作用力与物体对位移时间的二阶导数存在线性关系。故单级倒立摆系统是一个典型的非线性系统。 1.2 单级移动倒立摆的数学建模 研究单级移动倒立摆特性及其控制策略就要首先对单级移动倒立摆进行数学建模，便于后续分析研究。 如图 1 所示，在惯性参考系下，设小车的质量为 M，摆杆的质量为 m；摆杆的长度为l，在某一瞬间时刻的摆角为 ，在水平方向施加控制力 u。这样，整个倒立摆系统就受到重力、水平力和摩擦力的三个外力合力的作用。假设此时小车在水平方向的位移为 x，此时的摆心瞬时位置为（x + l） 。 在水平方向上，由牛顿第二定律，可求得系统的运动方程为： 在垂直方向上，由惯性力矩和重力力矩平衡可

5、求得： 即 控制保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，很小接近于 0。则有 sin，cos1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒立摆系统的数学模型。即单级移动倒立摆的数学模型的线性化。 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 4 1.3 单级移动倒立摆的数学模型线性化 当 很小时(1)，非线性三角函数可近似为sin,cos1。故可对方程组进行线性化，带入sin，cos1，方程式可以化简为 将上式进行拉普拉斯变换得 联立解得 代入 M(小车的质量)=1kg，m(倒立摆的质量)=0.2g,l（倒立摆的长度)=0.5m,g(重力加速度)=10m/s2到式 1-6，得系统开环传递函数为： 2

6、 单级移动倒立摆的串联 PD 校正 2.1 未校正系统的动态性能指标 （1）未校正系统结构及其单位阶跃响应 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 5 根据未校正系统的开环传递函数可以利用 SIMULINK 画出系统的结构图。 如图 2 所示。同时得到系统阶跃响应曲线。 （2）未校正系统单位阶跃响应曲线图 在 matlab 中使用代码编程能够方便的绘制各种性能曲线。 编程绘制单位阶跃响应曲线 num=1; %定义分子多项式 den=-0.5 0 12; %定义分母多项式 step(num,den,r); %作系统的阶跃响应图,红色曲线 图 2 未校正系统结构图 图 3 校正系统单位阶跃响应 武

7、汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 6 grid; （3）未校正系统根轨迹图 可以用 Matlab 作出系统的根轨迹图形，编写 matlab 程序代码如下： num = 1; %定义分子多项式 den = -0.5 0 12; %定义分母多项式 rlocus(num,den,r); %绘制系统的根轨迹 grid; %画出网络 xlabel (实轴),ylabel(虚轴); %加上坐标轴名称 title (根轨迹); %加标题 图 4 系统未校正前单位阶跃响应曲线图 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 7 右半平面也有根轨迹，故系统不稳定 （4）未校正系统伯德图 用 MATLAB 绘制校正

8、前系统的伯德图，编写程序如下： num=1; den=-0.5 0 12; s1=tf(num,den); %创建传递函数 G（s）的 TF 模型对象 m,pi,w=bode(num,den); %m 为幅值 pi 为相角 margin(s1); %绘制开环系统模型对象 s1 伯德图 并在图上标注 Gm wg Pm wp 图 5 未校正前系统根轨迹 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 8 可以看到上面的伯德图在函数相频部分略奇怪，思考后发现可能是坐标取得太小，将标度调大一些之后得到下图 (5)未校正系统奈奎斯特曲线 用 Matlab 编写程序如下： num = 1; %定义分子多项式 de

9、n = -0.5 0 12; %定义分母多项式 图 6 未校正系统伯德图 1 图 7 未校正系统伯德图 2 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 9 nyquist (num,den,r); %绘制奈奎斯特曲线 未校正系统奈奎斯特曲线在（-1，0）这点附近比较杂乱，看不清楚到底环绕多少圈，系统不稳定。 2.2 系统的串联 PD 校正 要求用串联比例-微分（PD）控制器改善倒立摆系统性能。 因为微分控制作用只对动态过程起作用，而对稳态过程没有影响，且对系统噪声非常敏感，所以单一的 D 控制器在任何情况下都不宜于被控对象串联起来单独使用，通常，微分控制规律总是与比例控制规律或比例-积分控制规律结

10、合起来使用。 具有比例-微分控制规律的控制器,称为 PD 控制器，其输出 m(t)与输入 e(t)的关系如下式所示 式中 K 为比例系数，T 为微分时间常数。K 与 T 都是可调的参数。PD 控制器如下图所示。 图 8 未校正系统奈奎斯特曲线 dttdeKTtKetm)()()(武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 10 PD 控制器中的微分控制规律，能反应输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。再串联校正时，可使系统增加一个1/T 的开环零点，使系统的相角裕度提高，因而有助于系统动态性能的改善。 线性化后，串联比例微分（PD）控制器的系统开环

11、传递函数为： 由反馈系统闭环传递函数的计算方法得系统的闭环传递函数根据典型二阶系统的暂态性能指标由二阶系统阻尼比和自然震荡频率n的计算方法，令 Mp%=16.3%，可得=0.5,令 ts=1.5s，可得n=6 12s5 . 01sscs）（）（）（TKGG%100e%p-1 Mnts42( )(1)( )( )0.713sK TssU ssKTsK2(1) 0.512K Ts sKTsK 图 9 校正后系统结构图 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 11 = 5 . 0125 . 015 . 02KKTssTsKT由反馈系统闭环传递函数的计算方法得系统的闭环传递函数 对照公式 得 K=-3

12、0 T=0.1 2.3 校正后系统动态性能指标 校正后系统框图及单位阶跃相应仿真如下 2222nnnsz zss 图 10 校正后系统结构图 图 11 校正后系统单位阶跃响应 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 12 用 MATLAB 函数做校正后系统的阶跃响应图，编写代码如下 num=-3 -30; %定义分子多项式 den=-0.5 0 12; sys=tf(num,den); lsys=feedback(sys,1,-1); step(lsys); %作系统的阶跃响应图 grid; 得出校正后系统阶跃响应输出曲线如图所示 图 12 初次校正后系统单位阶跃响应 图 13 调整参数后校正

13、系统的单位阶跃响应 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书 13 可以看出，单位脉冲响应曲线性能好了很多，ts 符合指标，但是超调量为 20.5，比规定的 16.3 要大，不符合指标。但是注意到超出的并不多，所以微调 k 值，将 k 从 30 调整到 25之后再次绘图，发现这次不仅超调量只有 13.3，而且 ts 下降到接近 1s。说明将 k 选取为 25是合适的。所设计的串联 PD 校正系统满足要求。 编写 MATLAB 代码，并画出已校正系统的根轨迹和波特图，可得到已校正系统的根轨迹如图所示。 num = -3 -25; %定义分子多项式 den = -0.5 0 12; %定义分母多项式 rlocus(num,den); %绘制系统的根轨迹 grid; %画出网络标度线 xlabel(Real Axis),ylabel(Imaginary Axis); %给坐标轴加上说明 tile(Root Locus) %给图形加上标题名 图 14 校正后系统根轨迹图 绘制波特图： num = 0 -3 -25; %定义分子多项式 den = -0.5 0 12; %定义分母多项式 w = logspace(-2,3,100); %确定波特图的频率范围 bode(num,den,w); %绘制系统的波特图 武汉理工大学自动控