斯特林公式及其精确化形式

《斯特林公式及其精确化形式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《斯特林公式及其精确化形式（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、韩韩 山山 师师 范范 学学 院院 学 生 毕 业 论 文（2012 届）韩山师范学院教务处制题目（中文）题目（中文） 斯特林公式及其精细化形式斯特林公式及其精细化形式 （英文）（英文） Stirling formula and its exact form 系别系别： 数学与信息技术系数学与信息技术系 专业：专业： 数学与应用数学数学与应用数学 班级班级： 2008111420081114 姓名：姓名： 林浩生林浩生 学号学号: : 20081911372008191137 指导教师指导教师： 陈秋锐陈秋锐 （经济师）（经济师） 诚诚 信信 声声 明明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导

2、下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名： 签名日期： 年 月 日摘要摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献2的作者蔡永裕没有解决的问题。关键词关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差Abstract：This paper conjectures a new

3、search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the proving methods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using t

4、he traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs 2 Cai Yongyu left.Key words: Stirling formula;improved;error;relative error目录目录1. 斯特林公式的探求过程 .（1）1.1 用和对对 n！进行估计 （1）nnnn 21.2 用对 n！进行估计（3）nen1.3 改进的形式 .（5）nen1

5、.4 证明斯特林公式.（6）2. 用计算机求斯特林公式的精细化形式 .（7）2.1 猜想斯特林公式的改良式.（7）2.2 构造改良式函数 f（n） （8）2.3 用线性回归求 f（n） .（11）2.4 改良式的简单形式（12）3. 改良式的相关证明 （12）3.1 n!的相关定理和推论 .（12）3.2 证明改良式比斯特林公式更好（13）3.3 求改良式的误差及相对误差范围（14）4.结束语 .（16）参考文献 .（17）致谢 .（18）1斯特林公式及其精细化形式斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。DeMoivre 最先得到斯特林公式

6、（1718 年） ；接着 James Stirling 在 1730 年又重新得到它。后来有一些教授、学者运用数学的推理证明，得到更精确的形式，例如徐利治教授和赵岳清。当然也有少数学者用数学实验来猜想它的改良式，但他们没有证明它比斯特林公式更精确，也没有求出它的误差范围。本文通过研究斯特林公式的探求过程，再通过计算机的实验结果，得出它的改良式，并证明它确实比斯特林公式的估值更精确，给出它的误差范围和相对误差范围，并与其它改良式作比较。 1.1. 斯特林公式的探求过程斯特林公式的探求过程斯特林公式：，目前有许多文章论述斯特林公式的证明,不12!limnnnennn 过都是在知道斯特林公式后, 给

7、出证明相应的方法,虽然当中有一些是简化证明，但是我们不知道如何“看出”或“猜出”公式的追寻、探索过程。有些令人有“美中不足”的感觉。本文我们就试着来补上这个缺憾, 展示一种推测式的猜想过程。这只是其中的一种猜想过程, 因为登一座山可以有各种不同的路径, 路径越多越美妙（用函数的观点来探求） 。1.11.1 用用和对和对对对 n n！进行估计！进行估计nnnn 2首先观察 n! = n（n1） （n2） 3 2 1，令函数!f(n)n，我们知道这是一个增长很快的函数。在高中时，我们学过一个增长很快的)( Nn指数函数，但是,故低估了 n!，在这里我们把指数函数x2f(x) n nn 2!limn

8、2变形为（a 为一个确定的正整数） ，但是无论 a 取哪一个确定整数，x2f(x) xaf(x)我们可以得到。n nan!lim于是继续追寻，如果将变形为（x0） ，显然这个函数的增长xaf(x)xxf(x)会更快。由于（n 个 n 相乘） ，显然，故高估nnn f(n)0!lim nnnnnn了 n!。2不过也不错,因为我们找到了一个比 n!更大的估计式，但是因为要远远比 n!大nnnn很多，当 n 趋向于正无穷时，它们的差的绝对值太大了。那么我们如何找一个比nn更小的数？现在将函数变形为，即（n 个xxf(x)xxxf2)(222)(nnnnf 相乘）,显然是一个比nn更小的估计式。令2n

9、nn 2nnnna2!（1）如果，那么就是我们所要的估计公式。12!limn nnnnn 2由算术平均大于等于几何平均定理知1221!nnnn事实上可以用数学归纳法证明:, 8 , 7 , 6,)2(!nnnn考虑（1）式中的数列, 我们的目标是探求极限 。 nan nalim 现在就来计算极限12)11 (lim2 !)2()21()!1(lim 11lim e nnnnn aannnnnnnn（2）3由可得enn)11 (21 )11 (2 !)2()21()!1(11 nnnnnnnnnn aa首先注意到是一个递减的正项数列, 由实数系的完备性知na存在，且 n nalim0（3）定理定

10、理 1 11: : 设为一个正项数列。 如果 且, nbSbnnlimRS ()0S则。11limnnnbb如果 不成立, 则可能有三种情形:11limnnnbb或 或 不存在。0limn nbn nblimn nblim 从（2）式中，我们知道不成立, 故下列三者之一成立:11limnnnaa或或 不存在。0limn nan nalimn nalim 配合（3）式可得, 所以 还是高估了 n!。0limn nann 21.21.2 用用对对 n n！进行估计！进行估计 nen由这个式子4，eeeennxdxni nnnnnnninn101lnln1lim !lnlim!lim4可以寻找到比更

11、小的估计式。nn 2nen令，则。nnennc )(!11limnnncc如果，那我们就可以用做为 n！的估计式。1limn ncnen由可得enn)11 (2，1 )11 (!)()1()!1(11 nnnnnne nenenn ccNn可知数列为一个递增数列，故nc存在，且。n nclim , 1WallisWallis 公式（公式（16561656 年）年）1：2) 12(2 ) 12(2 54 34 32 12nn nn由 Wallis 公式，可得nnnnn)!2() !(222 lim（4）由可得nnnnnenennc!)(!nn nencn!nn nencn22 2)2()!2(将

12、述两式代入 Wallis 公式得5nencencnn nnn nnn22 22222)2(2limnccnnn22 lim（5）如果是一个确定的数，则由（5）式得，这是一个矛盾。因n nclim0此，所以 低估了 n!nnn n ennc )(!limlimnen1.31.3 改进改进的形式的形式nen我们可以得到不等式，但是很难从 2 到 e 之间找到一个数来改nnnnen)2(!)(进，于是尝试将变形为。nennen)0(nenn令，则)0(!)(! nennnennxnnnnen xxnnn )11 (1比较与 e 的大小转化为比较它们的对数大小：n n)11 (与的大小。)1ln()(

13、)11ln(nnnnn1lne由级数展开公式：1),531(2)11ln(53 xxxx xx令，则，于是121 nxnn xx1 11) 12(51 ) 12(31 121)(2)1ln()(53nnnnnnn（66）1）当时，由（6）式可知2112)(2nn1)1ln()(nnn即，故enn)11 (1)11 (1 en xxnnn因此递减，于是存在且。如果，由 Wallisnxaxn n lim a0 a0公式会得到一个矛盾。于是，即。0a0lim nnx2）当时，将（6）式中的 5，7，9都改为 3，可得2112)(2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1236242)2410()2412(1