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1、1人教版高中数学必修五培优辅导拔高讲义人教版高中数学必修五培优辅导拔高讲义第一章第一章 解三角形解三角形1 1、正弦定理：在、正弦定理：在中，中，、分别为角分别为角、的对边，的对边，为为的外接圆的半径，的外接圆的半径，CAabcACRCA则有则有2sinsinsinabcRCA2 2、正弦定理的变形公式：、正弦定理的变形公式： ，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，； ；sin2a RA sin2b R sin2cCR: :sin:sin:sina b cCA （正弦定理主要用来解决两类问题：（正弦定理主要用来解决两类问题：1 1、已知两边和其、已知两边和其sinsinsinsi
2、nsinsinabcabc CCAA中一边所对的角，求其余的量。中一边所对的角，求其余的量。2 2、已知两角和一边，求其余的量。、已知两角和一边，求其余的量。 ）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 （一解、两解、无解三中情况）（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形如：在三角形 ABCABC 中，已知中，已知 a a、b b、A A（A A 为锐角）求为锐角）求 B B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a a 扰着扰着 C C 点旋转，看所得轨迹与点旋转，看所得轨迹与 A
3、DAD 有无交点：有无交点：1.1.当无交点则当无交点则 B B 无解、无解、 2.2. 当有一个交点则当有一个交点则 B B 有一解、有一解、 3.3.当当有两个交点则有两个交点则 B B 有两个解。有两个解。法二：是算出法二：是算出 CD=bsinA,CD=bsinA,看看 a a 的情况：的情况： 1.1.当当 abab 时，时，B B 有一解有一解注：当注：当 A A 为钝角或是直角时以此类推既可。为钝角或是直角时以此类推既可。3 3、三角形面积公式：、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 4 4、余弦定理：在、余弦定理：在中，有中，有，CA2222co
4、sabcbcA2222cosbacac2222coscababC5 5、余弦定理的推论：、余弦定理的推论：，222 cos2bca bcA 222 cos2acb ac 222 cos2abcCab( (余弦定理主要解决的问题：余弦定理主要解决的问题：1 1、已知两边和夹角，求其余的量。、已知两边和夹角，求其余的量。2 2、已知三边求角、已知三边求角) )6 6、如何判断三角形的形状：设、如何判断三角形的形状：设、是是的角的角、的对边，的对边，abcCAAC则：则：若若，则，则；若若，则，则；222abc90C 222abc90C 若若，则，则222abc90C 7.7.正余弦定理的综合应用：
5、如图所示：隔河看两目标正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标 A A、B,B,但不能到达，在岸边选取相距但不能到达，在岸边选取相距千米的千米的3C C、D D 两点，并测得两点，并测得ACB=75ACB=75O O, , BCD=45BCD=45O O, , ADC=30ADC=30O O, , ADB=45ADB=45O O(A(A、B B、C C、D D 在同一平面内在同一平面内) )，求两目标，求两目标A A、B B 之间的距离。之间的距离。DbsinAAbaCCABD28.8.三角形的五个三角形的五个“心心” ；重心：三角形三条中线交点；重心：三角形三条中线交点. . 外心：三角
6、形三边垂直平分线相交于一点外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. .内心：三角形三内角的平分线相交于一点内心：三角形三内角的平分线相交于一点. . 垂心：三角形三边上的高相交于一点垂心：三角形三边上的高相交于一点. .第二章第二章 数列数列1 1、数列：按照一定顺序排列的一列数、数列：按照一定顺序排列的一列数 2 2、数列的项：数列中的每一个数、数列的项：数列中的每一个数3 3、有穷数列：项数有限的数列、有穷数列：项数有限的数列 4 4、无穷数列：项数无限的数列、无穷数列：项数无限的数列5 5、递增数列：从第、递增数列：从第 2 2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：项起，每一项都不小
7、于它的前一项的数列（即：a an+1n+1aan n） 6 6、递减数列：从第、递减数列：从第 2 2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a an+1n+10,d0,d00 时，满足的项数时，满足的项数 m m 使得使得ms取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, ,注意转注意转化思想的应用。化思想的应用。二、数列求和的常用方法二、数列求和的常用方法1.1. 公式法公式法: :适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。62.2.裂项相消法裂项相消
8、法: :适用于适用于 1nnaac其中其中 na 是各项不为是各项不为 0 0 的等差数列，的等差数列，c c 为常数；部分无理数列、含阶乘为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。的数列等。3.3.错位相减法错位相减法: :适用于适用于nnba其中其中 na 是等差数列，是等差数列， nb是各项不为是各项不为 0 0 的等比数列。的等比数列。4.4.倒序相加法倒序相加法: : 类似于等差数列前类似于等差数列前 n n 项和公式的推导方法项和公式的推导方法. .5.5.常用结论常用结论 1 1）: : 1+2+3+.+n1+2+3+.+n = = 2) 1( nn2 2） 1+3+5+.+(2n-
9、1)1+3+5+.+(2n-1) = =2n 3 3）2 333) 1(2121 nnn 4 4） ) 12)(1(613212222nnnn 5 5）111 ) 1(1 nnnn)211(21 )2(1 nnnn6 6） )()11(11qpqppqpq第三章第三章 不等式不等式1 1、；0abab0abab0abab2 2、不等式的性质：、不等式的性质： ；abba,ab bcacabacbc，；,0ab cacbc,0ab cacbc ,ab cdacbd； 0,0abcdacbd0,1nnababnn0,1nnabab nn3 3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数
10、是、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式的不等式24 4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸5.5.整式不等式（高次不等式）的解法整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(002 21 10aaxaxaxannnn解法：解法：将不等式化为将不等式化为 a a0 0(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(x-x)(x-xm m)0(0(0”,“0”,则找则找“线线”在在 x x 轴上方的区间；若不等式是轴上方的区间；若不等式是“baxb 解的
11、讨论；解的讨论； 一元二次一元二次 不等式不等式 axax2 2+bx+c0(a0)+bx+c0(a0)解的讨论解的讨论. .+ + XX1X2X3Xn-2Xn-1Xn+7000二次函数二次函数cbxaxy2（0a）的图象）的图象一元二次方程一元二次方程的根002acbxax有两相异实根有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根有两相等实根abxx221 无实根无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或 abxx2R R的解集)0(02acbxax21xxxx 对于对于 a0(0(或或)()( xgxf0)+bx+c=0(a0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：的实根的分布常借
12、助二次函数图像来分析：设设 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 的两根为的两根为，f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c,+bx+c,那么：那么：、对称轴 x=2b ayox8若两根都大于若两根都大于 0 0，即，即，则有，则有0,00 00 若两根都小于若两根都小于 0 0，即，即，则有，则有0,0002 (0)0b a f 若两根有一根小于若两根有一根小于 0 0 一根大于一根大于 0 0，即，即，则有，则有0(0)0f若两根在两实数若两根在两实数 m,nm,n 之间，即之间，即，mn则有则有 02 ( )0( )0bmna f mf n 若两个根在三个实数之间，即若两个根在
13、三个实数之间，即，mtn 则有则有( )0 ( )0 ( )0f m f t f n 常由根的分布情况来求解出现在常由根的分布情况来求解出现在 a a、b b、c c 位置上的参数位置上的参数5 5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是 的不等式的不等式16 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组7 7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的和和的取值构成有序数对的取值构成有序数对，所有这，所有这xy, x y样的有序数对样的有序数对构成的集合构成的集合, x y8 8、在平面直角坐标系中，已知直线、在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点，坐标平面内的点0xyCA 00,xy若若，则点，则点在直线在直线的上方的上方0 000xyCA00,xy0xyCA 对称轴 x=2b aoxyoyx X=2b anxmoyX=2b ayomtnx9若若，则点，则点在直线在直线的下方的下方0 000xyCA00,xy0xyCA 9 9、在平面直角坐标系中，已知直线、在平面直角坐标系中，已知直线0xyCA （一）由（一）由 B B
