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1、統計學導論,方世榮 著,機率分配,5.1隨機變數 5.2機率分配 5.3聯合機率分配 5.4期望值與變異數 5.5期望值與變異數的性質,Chapter 5,本 章 綱 要,統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-3,5.1 隨機變數,係以樣本空間為定義域的實數值函數。,圖5-1 隨機變數與樣本空間的對應關係,統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-4,5.2 機率分配(1/2),樣本空間 S,隨機變數可能值 x,機率值 f(x),隨機試驗： 擲一硬幣兩次,x：正面個數,機率分配(x,f(x),圖5-2 樣本空間、隨機變數與機率分配三者間的關係,統計學導論 Chapter 5 機率分
2、配,5-5,間斷隨機分配 累積機率分配 連續機率分配,5.2 機率分配(2/2),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-6,間斷隨機分配(1/2),一間斷隨機變數X之機率分配，指將各個不同的x值與其對應之機率值一一列出的表，有時亦可以一公式來取代其詳細的表列。,統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-7,一間斷隨機變數X之機率分配可以函數表示，即f(xi)=P(X=xi) 其中f(xi)必須滿足 對於X中的每一xi，0 f(xi) 1；，X之可能值為 xi , i=1,2,k。,間斷隨機分配(2/2),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-8,累積機率分配,(5-1),(
3、5-2),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-9,連續機率分配(1/4),直方圖之面積總和為1。 就某些組的邊界點a與b而言，介於a與b之相對次數為該區間內，直方圖所表示的面積。,統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-10,機率密度函數f(x)乃描述一連續隨機變數X之機率分配，且具有下列之特性 機率密度曲線以下所涵蓋的總面積等於1。 P(aXb)機率密度曲線下，介於a與b之間的面積。 對於X之所有可能值的範圍而言，f(x)0。,連續機率分配(2/4),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-11,在連續隨機變數的情形下，X=x之機率必定為0，唯有涉及X之某區間時，其機率
4、才具有意義。,(5-3),(5-4),連續機率分配(3/4),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-12,圖5-7 計算P(ab)之圖例,連續機率分配(4/4),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-13,5.3 聯合機率分配,聯合機率分配的意義 間斷隨機變數 聯合機率分配 邊際機率分配 條件機率分配與獨立性 連續隨機變數 聯合機率分配 邊際機率分配 條件機率分配與獨立性,統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-14,聯合機率分配(1/2),列出間斷隨機變數X與Y之所有可能值x與y，以及其所對應的機率值f(x,y)之表格或數學式，則為X與Y的聯合分配。 f(x,y)0(5
5、-7)式中的S(X)與S(Y)分別表示隨機數X與Y之 值域。,(5-6),(5-7),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-15,表5-4 例題5.7之X與Y的聯合分配,聯合機率分配(2/2),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-16,邊際機率分配,(5-8),(5-9),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-17,條件機率分配與獨立性(1/2),設有X與Y兩個隨機變數之聯合分配，且其邊際機率分配分別為g(x)與h(y)；在給定X=x下，Y的條件機率分配(conditional probability distribution)，簡稱為條件分配，為(5-10)同理，在
6、給定Y=y下，X的條件分配為,(5-11),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-18,設X與Y為任意二個隨機變數，其聯合分配與邊際機率分配分別為f(x,y)，g(x)，h(y)；若X的條件分配等於其邊際機率分配，即f(x|y)=g(x)則稱隨機變數X與Y互為獨立；同理，若Y的條件分配等於其邊際機率分配，即f(y|x)=h(y) 則稱隨機變數X與Y互為獨立。,條件機率分配與獨立性(2/2),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-19,聯合機率分配,f(x,y)0 (5-13)=1 (5-14)式中的範圍 a x b , c y d 分別表示隨機變數X與Y之範圍。,統計學導論 C
7、hapter 5 機率分配,5-20,邊際機率分配,(5-15),(5-16),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-21,條件機率分配與獨立性,二個條件(1)f(y|x)0，(2) ，同理，在給定Y=y下，X的條件機率分配為,(5-17),(5-18),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-22,5.4 期望值與變異數,間斷連續機率分配的期望值 聯合機率分配的期望值 間斷連續機率分配的變異數 Chebyshev定理,統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-23,間斷連續機率分配的 期望值(1/3),一間斷隨機變數X的平均數或期望值式中x乃在X之可能值X(S)的範圍內，而
8、f(x)則為X之機率分配。,(5-19),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-24,令X為間斷隨機變數，其機率分配為f(x)，則X之函數g(X)的期望值為 (5-20),間斷連續機率分配的 期望值(2/3),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-25,設X與Y為二個連續隨機變數，則期望值為式中x屬於X的範圍值內，y屬於Y的範圍值內；且g(x)為x之機率分配，h(y)則為y之機率分配。,間斷連續機率分配的 期望值(3/3),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-26,聯合機率分配的期望值,令X，Y為間斷隨機變數，其聯合機率分配為f(x,y)，則隨機變數g(X,Y)的期望
9、值定義為(5-21),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-27,間斷連續機率分配的變異數,令X為一間斷隨機變數，其機率分配為f(x)，則X的變異數為(5-22),(5-23),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-28,Chebyshev定理,若隨機變數X具有平均數，變異數2 ，則下式成立：,(5-24),(5-25),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-29,5.5 期望值與變異數的性質,期望值的性質 變異數的性質,統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-30,期望值的性質(1/2),(5-26),(5-27),(5-28),統計學導論 Chapter 5
10、機率分配,5-31,設X與Y為任意二個隨機變數，其聯合分配為f(x, y)，則X與Y之和及差的期望值為 E(X+Y)=E(X)+E(Y) (5-29) E(XY)=E(X)E(Y) (5-30)設兩個隨機變數X與Y互為獨立，即 E(XY)=E(X)E(Y) (5-31),期望值的性質(2/2),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-32,變異數的性質(1/2),Var(aX+b)=a2Var(X) (5-32)Var(b)=0 (5-33)Var(aX)=a2Var(X) (5-34)設X與Y為兩個隨機變數，且互為獨立，則Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) (5-35)Var(XY)=Var(X)+Var(Y) (5-36),統計學導論 Chapter 5 機率分配,5-33,設X1,X2,Xn為任意n個隨機變數，則E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn) (5-37)另外，若Xi皆互為獨立，則Var(X1+X2+.+Xn)=Var(X1)+Var(X2)+Var(Xn) (5-38),變異數的性質(2/2),
