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1、2.8 函数与方程 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 yf(x) (xD),把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x) (xD)的零点 (2)几个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 3.二分法 (1)定义:对于在区间a,b上连续不断且 f(a)f(b)1 时,f(x)2xlog0.5x12xlog2x1, 令 f(x)0 得 log2x x, ( 1 2) 由 y
2、log2x,y x的图象知在(1,)上有一个交点,即 f(x)在 ( 1 2) (1,)上有一个零点,故选 B. 3(2013重庆)若 a0,f(b) (bc)(ba)0.因此有 f(a)f(b) 0. f(x)在其定义域上是严格单调递增函数 f( )e40, 1 4 4 1 1 2 2 1 f( )f( )1 时,f(x)单调递减,因为 f(3)ln 310,f(4)ln 421 时,方程 f(x)f(a)的实根个 2 x 数为_ 思维启迪 (1)函数零点的确定问题; (2)f(x)f(a)的实根个数转化为函数 g(x)f(x)f(a)的零点个数 答案 (1)C (2)3 解析 (1)当 x
3、0 时,f(x)0.又因为 x0,4, 所以 0x216.因为 50, h(x)在区间(,0)和(0,a)各有一个零点 因此,g(x)有三个零点,即方程 f(x)f(a)有三个实数解 思维升华 函数零点的确定问题,常见的有函数零点值大致存 在区间的确定,零点个数的确定,两函数图象交点的横坐标 或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利 用零点存在的判断或数形结合法 (1)函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A(2,1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) (2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x),且当 x0,1时, f(x)x,则函
4、数 yf(x)log3|x|的零点个数是 ( ) A多于 4 个 B4 个 C3 个 D2 个 答案 (1)B (2)B 解析 (1)f(x)2xln 230, f(x)2x3x 在 R 上是增函数 而 f(2)2260,f(1)2350,f(2)226100, f(1)f(0)0, 8 9 8 9 即 f(x)0 有两个不相等的实数根, 若实数 a 满足条件,则只需 f(1)f(3)0 即可 f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1) 0, a 或 a1. 1 5 检验:(1)当 f(1)0 时,a1,所以 f(x)x2x. 令 f(x)0,即 x2x0,得 x0
5、或 x1. 方程在1,3上有两个实数根,不合题意,故 a1. (2)当 f(3)0 时,a ,此时 f(x)x2x . 1 5 13 5 6 5 令 f(x)0,即 x2x 0,解得 x 或 x3. 13 5 6 5 2 5 方程在1,3上有两个实数根,不合题意,故 a . 1 5 综上所述,a1. 1 5 思维升华 解决二次函数的零点问题:(1)可利用一元二次方程的 求根公式; (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系; (3)利用二次函数的图象列不等式组 已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大,一个 零点比 1 小,求实数 a 的取值范围 解 方法一 设方程
6、x2(a21)x(a2)0 的两根分别为 x1,x2(x10),则原方程可变为 t2ata10,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根 令 f(t)t2ata1. 若方程(*)有两个正实根 t1,t2, 则Error!Error!解得10), 22x1 2x1 则 a t21 t1 (t 2 t11) 2,其中 t11, t1 2 t1 由基本不等式,得(t1)2,当且仅当 t1 时取等 2 t122 号,故 a22. 2 思维升华 对于“af(x)有解”型问题,可以通过求函数 yf(x) 的值域来解决 已知定义在 R 上的函数 yf(x)满足 f(x2)f(x),当 10) e2 x (1
7、)若 yg(x)m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根 思维启迪 (1)yg(x)m 有零点即 yg(x)与 ym 的图象有交点, 所以可以结合图象求解; (2)g(x)f(x)0 有两个相异实根yf(x)与 yg(x)的图象有两个 不同交点,所以可利用它们的图象求解 规范解答 解 (1)方法一 g(x)x22e, e2 xe2 等号成立的条件是 xe, 故 g(x)的值域是2e,),3 分 因而只需 m2e,则 yg(x)m 就有零点6 分 方法二 作出 g(x)x (x0)的大致图象如图3 分 e2 x 可知若使 yg(x)m
8、 有零点,则只需 m2e.6 分 (2)若 g(x)f(x)0 有两个相异实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个 不同的交点, 作出 g(x)x (x0)的大致图象如图8 分 e2 x f(x)x22exm1(xe)2m1e2. 其图象的对称轴为 xe,开口向下, 最大值为 m1e2.10 分 故当 m1e22e,即 me22e1 时,g(x)与 f(x)有两个交点, 即 g(x)f(x)0 有两个相异实根 m 的取值范围是(e22e1,)12 分 温馨提醒 (1)求函数零点的值,判断函数零点的范围及零点的个 数以及已知函数零点求参数范围等问题,都可利用方程来求解, 但当方程不易甚至不可能
9、解出时,可构造两个函数,利用数形结 合的方法进行求解 (2)本题的易错点是确定 g(x)的最小值和 f(x)的最大值时易错要 注意函数最值的求法. 方法与技巧 1函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)0. 2研究方程 f(x)g(x)的解,实质就是研究 G(x)f(x)g(x)的零 点 3转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数 问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 失误与防范 1函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)0 的根,也是函数 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 2函数零点存在性定理是零点
10、存在的一个充分条件,而不是必要条 件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图 象. A 组 专项基础训练 一、选择题 1方程 log3xx30 的解所在的区间是 ( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 答案 C 解析 设 f(x)log3xx3,则 f(2)log3210, f(x)0 在(2,3)有零点, 又 f(x)为增函数,f(x)0 的零点在(2,3)内 2方程|x22x|a21(a0)的解的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 (数形结合法) a0,a211. 而 y|x22x|的图象如图, y|x22x|的图象与 ya21 的
11、图象总有两个交点 3若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( ) A(1,1) B(2,2) C(,2)(2,) D(,1)(1,) 答案 C 解析 方程 x2mx10 有两个不相等的实数根, m240,m2 或 m0, 1 2 1 2 且 f(x)为单调递增函数 故 f(x)2xx 的零点 a(1,0) g(2)0,g(x)的零点 b2; h1 0, ( 1 2) 1 2 1 2 且 h(x)为单调递增函数, h(x)的零点 c,因此 a0 时,f(x)2 015xlog2 015x,则在 R 上,函数 f(x)零点的个数为_ 答案 3 解析 函数
12、f(x)为 R 上的奇函数,因此 f(0)0,当 x0 时,f(x) 2 015xlog2 015x 在区间(0,)内存在一个零点,又 f(x)为增 1 2 015 函数,因此在(0,)内有且仅有一个零点根据对称性可知函 数在(,0)内有且仅有一解,从而函数 f(x)在 R 上的零点的个 数为 3. 7已知函数 f(x)Error!Error!若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点,则实数 m 的取值 范围是_ 答案 (0,1) 解析 画出 f(x) Error!Error!的图象,如图 由于函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点,结合图象得:0 0 的解集是_ 答案 x| 0, 即(4x22x6)02x2x30),则 t2mt10. 当 0,即 m240, m2 时,t1;m2 时,t1(不合题意,舍去), 2x1,x0 符合题意 当 0,即 m2 或 m 时, 1 2a 1 2 须使Error!Error!即Error!Error! 解得 a1,a 的取值范围是1,)