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1、2.8 函数与方程 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 yf(x) (xD)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x) (xD)的零点 (2)几个等价关系 方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 3.二分法 (1)定义：对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)1 时，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1， 令 f(x)0 得 log2x x， ( 1 2) 由 y
2、log2x，y x的图象知在(1，)上有一个交点，即 f(x)在 ( 1 2) (1，)上有一个零点，故选 B. 3(2013重庆)若 a0，f(b) (bc)(ba)0.因此有 f(a)f(b) 0. f(x)在其定义域上是严格单调递增函数 f( )e40， 1 4 4 1 1 2 2 1 f( )f( )1 时，f(x)单调递减，因为 f(3)ln 310，f(4)ln 421 时，方程 f(x)f(a)的实根个 2 x 数为_ 思维启迪 (1)函数零点的确定问题； (2)f(x)f(a)的实根个数转化为函数 g(x)f(x)f(a)的零点个数 答案 (1)C (2)3 解析 (1)当 x
3、0 时，f(x)0.又因为 x0,4， 所以 0x216.因为 50， h(x)在区间(，0)和(0，a)各有一个零点 因此，g(x)有三个零点，即方程 f(x)f(a)有三个实数解 思维升华 函数零点的确定问题，常见的有函数零点值大致存 在区间的确定，零点个数的确定，两函数图象交点的横坐标 或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利 用零点存在的判断或数形结合法 (1)函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) (2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,1时， f(x)x，则函
4、数 yf(x)log3|x|的零点个数是 ( ) A多于 4 个 B4 个 C3 个 D2 个 答案 (1)B (2)B 解析 (1)f(x)2xln 230， f(x)2x3x 在 R 上是增函数 而 f(2)2260，f(1)2350，f(2)226100， f(1)f(0)0， 8 9 8 9 即 f(x)0 有两个不相等的实数根， 若实数 a 满足条件，则只需 f(1)f(3)0 即可 f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1) 0， a 或 a1. 1 5 检验：(1)当 f(1)0 时，a1，所以 f(x)x2x. 令 f(x)0，即 x2x0，得 x0
5、或 x1. 方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a1. (2)当 f(3)0 时，a ，此时 f(x)x2x . 1 5 13 5 6 5 令 f(x)0，即 x2x 0，解得 x 或 x3. 13 5 6 5 2 5 方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故 a . 1 5 综上所述，a1. 1 5 思维升华 解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的 求根公式； (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系； (3)利用二次函数的图象列不等式组 已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大，一个 零点比 1 小，求实数 a 的取值范围 解 方法一 设方程
6、x2(a21)x(a2)0 的两根分别为 x1，x2(x10)，则原方程可变为 t2ata10，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根 令 f(t)t2ata1. 若方程(*)有两个正实根 t1，t2， 则Error!Error!解得10)， 22x1 2x1 则 a t21 t1 (t 2 t11) 2，其中 t11， t1 2 t1 由基本不等式，得(t1)2，当且仅当 t1 时取等 2 t122 号，故 a22. 2 思维升华 对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数 yf(x) 的值域来解决 已知定义在 R 上的函数 yf(x)满足 f(x2)f(x)，当 10) e2 x (1
7、)若 yg(x)m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)f(x)0 有两个相异实根 思维启迪 (1)yg(x)m 有零点即 yg(x)与 ym 的图象有交点， 所以可以结合图象求解； (2)g(x)f(x)0 有两个相异实根yf(x)与 yg(x)的图象有两个 不同交点，所以可利用它们的图象求解 规范解答 解 (1)方法一 g(x)x22e， e2 xe2 等号成立的条件是 xe， 故 g(x)的值域是2e，)，3 分 因而只需 m2e，则 yg(x)m 就有零点6 分 方法二 作出 g(x)x (x0)的大致图象如图3 分 e2 x 可知若使 yg(x)m
8、 有零点，则只需 m2e.6 分 (2)若 g(x)f(x)0 有两个相异实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两个 不同的交点， 作出 g(x)x (x0)的大致图象如图8 分 e2 x f(x)x22exm1(xe)2m1e2. 其图象的对称轴为 xe，开口向下， 最大值为 m1e2.10 分 故当 m1e22e，即 me22e1 时，g(x)与 f(x)有两个交点， 即 g(x)f(x)0 有两个相异实根 m 的取值范围是(e22e1，)12 分 温馨提醒 (1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个 数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解， 但当方程不易甚至不可能
9、解出时，可构造两个函数，利用数形结 合的方法进行求解 (2)本题的易错点是确定 g(x)的最小值和 f(x)的最大值时易错要 注意函数最值的求法. 方法与技巧 1函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程 f(x)0. 2研究方程 f(x)g(x)的解，实质就是研究 G(x)f(x)g(x)的零 点 3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数 问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题 失误与防范 1函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)0 的根，也是函数 yf(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 2函数零点存在性定理是零点
10、存在的一个充分条件，而不是必要条 件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图 象. A 组 专项基础训练 一、选择题 1方程 log3xx30 的解所在的区间是 ( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 答案 C 解析 设 f(x)log3xx3，则 f(2)log3210， f(x)0 在(2,3)有零点， 又 f(x)为增函数，f(x)0 的零点在(2,3)内 2方程|x22x|a21(a0)的解的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 (数形结合法) a0，a211. 而 y|x22x|的图象如图， y|x22x|的图象与 ya21 的
11、图象总有两个交点 3若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是( ) A(1,1) B(2,2) C(，2)(2，) D(，1)(1，) 答案 C 解析 方程 x2mx10 有两个不相等的实数根， m240，m2 或 m0， 1 2 1 2 且 f(x)为单调递增函数 故 f(x)2xx 的零点 a(1,0) g(2)0，g(x)的零点 b2； h1 0， ( 1 2) 1 2 1 2 且 h(x)为单调递增函数， h(x)的零点 c，因此 a0 时，f(x)2 015xlog2 015x，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为_ 答案 3 解析 函数
12、f(x)为 R 上的奇函数，因此 f(0)0，当 x0 时，f(x) 2 015xlog2 015x 在区间(0，)内存在一个零点，又 f(x)为增 1 2 015 函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函 数在(，0)内有且仅有一解，从而函数 f(x)在 R 上的零点的个 数为 3. 7已知函数 f(x)Error!Error!若函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，则实数 m 的取值 范围是_ 答案 (0,1) 解析 画出 f(x) Error!Error!的图象，如图 由于函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，结合图象得：0 0 的解集是_ 答案 x| 0， 即(4x22x6)02x2x30)，则 t2mt10. 当 0，即 m240， m2 时，t1；m2 时，t1(不合题意，舍去)， 2x1，x0 符合题意 当 0，即 m2 或 m 时， 1 2a 1 2 须使Error!Error!即Error!Error! 解得 a1，a 的取值范围是1，)
