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1、例例 1 求下列各数的绝对值：求下列各数的绝对值：(1)38； (2)0.15；(3)a(a0)； (4)3b(b0)；(5)a2(a2)； (6)ab分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负 数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出题没有给出 a 与与 b 的大小的大小 关系，所以要进行分类讨论关系，所以要进行分类讨论解：解：(1)3838；(2)0.150.15；(3)a0，aa；(4)b0，3b0，3b3b；(5)a2，a20，a
2、2(a2)2a；说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母用含字母 的式子表示时的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨 论论例例 2 判断下列各式是否正确判断下列各式是否正确(正确入正确入“T”，错误入，错误入“F”)：(1)aa； ( )(2)aa； ( )(4)若若ab，则，则 ab； ( )(5)若若 ab，则，则ab； ( )(6)若若ab，则，则 ab； ( )(7)若若 ab，则，则ab； ( )(8)若若
3、ab，则，则baab ( )分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用 绝对值的定义来判断每一个结论的正确性判数绝对值的定义来判断每一个结论的正确性判数(或证明或证明)一个结论是错误的，一个结论是错误的， 只要能举出反例即可如第只要能举出反例即可如第(2)小题中取小题中取 a1，则，则a11，而，而 a11，所以，所以aa同理，在第同理，在第(6)小题中取小题中取 a1 ，b0，在第，在第(4)、(7)小题中取小题中取 a5，b5 等，都可以充分说明结论是错误等，都可以充分说明结论是错误 的要证明一个
4、结论正确，须写出证明过程如第的要证明一个结论正确，须写出证明过程如第(3)小题是正确的证明步骤小题是正确的证明步骤 如下：如下：此题证明的依据是利用此题证明的依据是利用a的定义，化去绝对值符号即可对于证明第的定义，化去绝对值符号即可对于证明第(1)、(5)、 (8)小题要注意字母取零的情况小题要注意字母取零的情况解：其中第解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确，小题不正确，(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的小题是正确的说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证 明时需要写明道理和依
5、据，步骤都要较为严格、规范而判断一个结论是错误明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范而判断一个结论是错误 的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反 例的方法，后者有时更为简便例的方法，后者有时更为简便例例 3 判断对错判断对错(对的入对的入“T”，错的入，错的入“F”)(1)如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是 0( )(2)如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 1 和和 0( )(3)如果一个数的绝对值是它
6、本身，那么这个数是如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是 0 或或 1( )(4)如果说如果说“一个数的绝对值是负数一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的，那么这句话是错的( )(5)如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数( )解：解：(1)T(2)F1 的倒数也是它本身，的倒数也是它本身，0 没有倒数没有倒数(3)F正数的绝对值都等于它本身，所以绝对值是它本身的数是正数和正数的绝对值都等于它本身，所以绝对值是它本身的数是正数和 0(4)T任何一个数的绝对值都是正数或任何一个数的绝对值都是正数或 0，不可能是负数，所以这句话是错的，
7、不可能是负数，所以这句话是错的(5)F0 的绝对值是的绝对值是 0，也可以认为是，也可以认为是 0 的相反数，所以少了一个数的相反数，所以少了一个数 0说明：解判断题时应注意两点：说明：解判断题时应注意两点：(1)必须必须“紧扣紧扣”概念进行判断；概念进行判断；(2)要注意检查特殊数，如要注意检查特殊数，如 0，1，1 等是否符合题意等是否符合题意例例 4 已知已知(a1)2b30，求，求 a、b分析：根据平方数与绝对值的性质，式中分析：根据平方数与绝对值的性质，式中(a1)2 与与b3都是非负数因为都是非负数因为 两个非负数的和为两个非负数的和为“0”，当且仅当每个非负数的值都等于，当且仅当
8、每个非负数的值都等于 0 时才能成立，所以由时才能成立，所以由 已知条件必有已知条件必有 a10 且且 b30a、b 即可求出即可求出解：解：(a1)20，b30，又又(a1)2b30a10 且且 b30a1，b3说明：对于任意一个有理数说明：对于任意一个有理数 x，x20 和和x0 这两条性质是十分重要的，在这两条性质是十分重要的，在 解题过程中经常用到解题过程中经常用到例例 5 填空：填空：(1)若若a6，则，则 a_；(2)若若b0.87，则，则 b_；(4)若若 xx0，则，则 x 是是_数数分析：已知一个数的绝对值求这个数，则这个数有两个，它们是互为相反数分析：已知一个数的绝对值求这
9、个数，则这个数有两个，它们是互为相反数解：解：(1)a6，a6；(2)b0.87，b0.87；(4)xx0，xxx0，x0x0，x 是非正数是非正数说明：说明：“绝对值绝对值”是代数中最重要的概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这是代数中最重要的概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念个概念对绝对值的代数定义，至少要认识到以下四点：对绝对值的代数定义，至少要认识到以下四点：(家教家教 4.0，复习辅导，复习辅导“有理数有理数”例例 3 2 结结(1)(4)例例 6 判断对错：判断对错：(对的入对的入“T”，错的入，错的入“F”)(1)没有最大的自然数没有最大的自然数 ( )(2)有最小的偶
10、数有最小的偶数 0 ( )(3)没有最小的正有理数没有最小的正有理数 ( )(4)没有最小的正整数没有最小的正整数 ( )(5)有最大的负有理数有最大的负有理数 ( )(6)有最大的负整数有最大的负整数1 ( )(7)没有最小的有理数没有最小的有理数 ( )(8)有绝对值最小的有理数有绝对值最小的有理数 ( )解：解：(1)T(2)F数的范围扩展后，偶数的范围也随之扩展偶数包含正偶数，数的范围扩展后，偶数的范围也随之扩展偶数包含正偶数，0，负偶数，负偶数 (2，4，)，所以，所以 0 不是最小的偶数，偶数没有最小的不是最小的偶数，偶数没有最小的(3)T(4)F有最小的正整数有最小的正整数 1(
11、5)F没有最大的负有理数没有最大的负有理数(6)T(7)T(8)T绝对值最小的有理数是绝对值最小的有理数是 0例例 7 比较下列每组数的大小，在横线上填上适当的关系符号比较下列每组数的大小，在横线上填上适当的关系符号(“”“”“”)(1)0.01_100；(2)(3)_3；(3)(90)_0；(6)当当 a3 时，时，a3_0；3a_a3分析：比较两个有理数的大小，需先将各数化简，然后根据法则进行比较分析：比较两个有理数的大小，需先将各数化简，然后根据法则进行比较解：解：(1)0.01100；(2)(3)3；(3)(90)0；(6)当当 a3 时，时，a30，3aa3说明：比较两个有理数大小的
12、依据是：说明：比较两个有理数大小的依据是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，正数大于在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，正数大于 0，大于一切，大于一切 负数，负数小于负数，负数小于 0，小于一切正数，两个负数，绝对值大的反而小，小于一切正数，两个负数，绝对值大的反而小两个正分数，若分子相同则分母越大分数值越小；若分母相同，则分子越大两个正分数，若分子相同则分母越大分数值越小；若分母相同，则分子越大 分数值越大；也可将分数化成小数来比较分数值越大；也可将分数化成小数来比较例例 8 比较大小：比较大小：分析：比较两个负分数的大小，按法则，先要求出它们的绝对值，并比较绝对分析
13、：比较两个负分数的大小，按法则，先要求出它们的绝对值，并比较绝对 值的大小值的大小(1)这两个数的绝对值是两个异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分；这两个数的绝对值是两个异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分；(2)用用(1)的方法比较这两个负数绝对值的大小是非常麻烦的，此法不可取通过的方法比较这两个负数绝对值的大小是非常麻烦的，此法不可取通过 比较它们的倒数，可以快捷的达到目的比较它们的倒数，可以快捷的达到目的说明：两个有理数比较大小，当它们都是负数时，必须通过比较绝对值的大小说明：两个有理数比较大小，当它们都是负数时，必须通过比较绝对值的大小 来确定它们的大小来确定它们的大小(1)一
14、定要注意，因为是两个负数，所以它们的绝对值越大一定要注意，因为是两个负数，所以它们的绝对值越大，对应点在数轴的左边离原点的距离就越远，因此它的值就越小，对应点在数轴的左边离原点的距离就越远，因此它的值就越小(2)比较两个比较两个 异分母正分数的大小时，如果通分很麻烦，可以考虑通过比较它们倒数大小的异分母正分数的大小时，如果通分很麻烦，可以考虑通过比较它们倒数大小的 方法间接达到目的理论依据方法间接达到目的理论依据例例 9 在数轴上画出下列各题中在数轴上画出下列各题中 x 的范围：的范围：(1)x4；(2)x3；(3)2x5分析：根据绝对值的几何意义画图例如，分析：根据绝对值的几何意义画图例如，x4
