《2018年高中数学人教a版选修2-2第2章推理与证明 2.3习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学人教a版选修2-2第2章推理与证明 2.3习题含解析（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题12.3 数学归纳法数学归纳法课时过关能力提升基础巩固基础巩固1 用数学归纳法证明 3nn3(n3,nN*),第一步应验证( )A.当 n=1 时,不等式成立B.当 n=2 时,不等式成立C.当 n=3 时,不等式成立D.当 n=4 时,不等式成立解析由题知 n 的最小值为 3,所以第一步验证当 n=3 时,不等式成立,选 C.答案 C2 已知 f(n)=+,则( )1 +1 + 1+1 + 212A.f(n)共有 n 项,当 n=2 时,f(2)=1 2+1 3B.f(n)共有(n+1)项,当 n=2 时,f(2)=1 2+1
2、3+1 4C.f(n)共有(n2-n)项,当 n=2 时,f(2)=1 2+1 3D.f(n)共有(n2-n+1)项,当 n=2 时,f(2)=1 2+1 3+1 4解析由题意知 f(n)的最后一项的分母为 n2,故 f(2)=,排除选项 A,选项 C.1 2+1 3+122又 f(n)=+,1 + 0+1 + 11 + (2- )所以 f(n)的项数为 n2-n+1.故选 D.答案 D3 已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1-+=2时,若已假设当1 2+1 31 41 - 11 (1 + 2+1 + 4+ +1 2)n=k(k2,且为偶数)时,命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.当
3、 n=k+1 时,等式成立B.当 n=k+2 时,等式成立C.当 n=2k+2 时,等式成立人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题2D.当 n=2(k+2)时,等式成立解析因为假设 n=k(k2,且为偶数),故下一个偶数为 k+2,故选 B.答案 B4 用数学归纳法证明不等式 1+(nN*)成立,其初始值至少应取( )1 2+1 412 - 1127 64A.7B.8C.9D.10解析左边=1+=2-,代入验证可知 n 的最小值是 8.1 2+1 412 - 1=1 -121 -1 212 - 1答案 B5 用数学归纳法证明 1-+,则当 n=k+1 时,等式左边应在
4、 n=k 的基础1 2+1 31 41 2 - 11 2=1 + 1+1 + 21 2上加上( )A.1 2 + 2B.-1 2 + 2C.1 2 + 11 2 + 2D.1 2 + 1+1 2 + 2解析当 n=k 时,左边=1-+,当 n=k+1 时,左边=1-+.1 2+1 31 41 2 - 11 21 2+1 31 41 2 - 11 2+1 2 + 11 2 + 2答案 C6 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn能被 x+y 整除”,当第二步假设 n=2k-1(kN*)命题为真时,进而需证n= 时,命题为真. 解析因为 n 为正奇数,所以奇数 2k-1 之后的奇数是 2
5、k+1.答案 2k+17 在用数学归纳法证明“34n+2+52n+1(nN*)能被 14 整除”的过程中,当 n=k+1 时,式子 34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为 .答案(34k+2+52k+1)34+52k+1(52-34)8 用数学归纳法证明+0,整数 p1,nN*.(1)用数学归纳法证明:当 x-1,且 x0 时,(1+x)p1+px;(2)数列an满足 a1,an+1=an+,证明:anan+1.1 - 1 1 - 1 证明(1)当 p=2 时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.假设当 p=k(k2,kN*)时,不等式(1+x)k1+kx 成立.则当
6、p=k+1 时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以当 p=k+1 时,原不等式也成立.综合可得,当 x-1,x0 时,对一切整数 p1,不等式(1+x)p1+px 均成立.(2)先用数学归纳法证明 an.1 当 n=1 时,由题设 a1知 an成立.1 1 假设当 n=k(k1,kN*)时,不等式 ak成立.1 由 an+1=an+及 a10,易知 an0,nN*.则当 n=k+1 时, - 1 1 - 1 + 1= - 1 + - =1+.1 (- 1)由 ak0,得-11+p.因此c,即 ak+1.( + 1)=1
7、 +1 (- 1)1 (- 1)= + 11 所以当 n=k+1 时,不等式 an也成立.1 综合可得,对一切正整数 n,不等式 an均成立.因此 an+1也成立.1 1 再由=1+可得an+1,nN*.1 7 已知集合 X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN*),设 Sn=(a,b)|a 整除 b 或 b 整除 a,aX,bYn.令 f(n)表示集合 Sn所含元素的个数.(1)写出 f(6)的值;人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题6(2)当 n6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解(1)f(6)=13.(2)当 n6 时,f(n)=(tN*)
8、. + 2 +(2+ 3), = 6, + 2 +( - 12+ - 1 3), = 6 + 1, + 2 +(2+ - 2 3), = 6 + 2, + 2 +( - 12+ 3), = 6 + 3, + 2 +(2+ - 1 3), = 6 + 4, + 2 +( - 12+ - 2 3), = 6 + 5?下面用数学归纳法证明:当 n=6 时,f(6)=6+2+=13,结论成立;6 2+6 3假设当 n=k(k6)时结论成立,那么 n=k+1 时,Sk+1在 Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若 k+1=6t,则 k=6(
9、t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+3 - 1 2+ - 2 3=(k+1)+2+,结论成立; + 1 2+ + 1 32)若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1 2+ 3=(k+1)+2+,结论成立;( + 1) - 1 2+( + 1) - 1 33)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2 - 1 2+ - 1 3=(k+1)+2+,结论成立; + 1 2+( + 1) - 2 34)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2 2+ - 2 3=(k+1)+2+,结论成立;( + 1) - 1 2+ + 1 35)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2 - 1 2+ 3人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-2 习题7=(k+1)+2+,结论成立; + 1 2+( + 1) - 1 36)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1 2+ - 1 3=(k+1)+2+,结论成立.( + 1) - 1 2+( + 1) - 2 3综上所述,结论对满足 n6 的自然数 n 均成立.
