《2018年高中数学人教a版选修2-1第3章空间向量与立体几何 3.2.3习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学人教a版选修2-1第3章空间向量与立体几何 3.2.3习题含解析（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题1第 3 课时 用向量方法求空间中的角课时过关能力提升基础巩固基础巩固1 若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120,则直线 l 与平面 所成的角等于( )A.120B.60C.30D.以上均错解析:l 的方向向量与平面 的法向量的夹角为 120,它们所在直线的夹角为 60.则直线 l 与平面 所成的角为 90-60=30.答案:C2 设四边形 ABCD,ABEF 都是边长为 1 的正方形,FA平面 ABCD,则异面直线 AC 与 BF 所成的角等于( )A.45B.30C.90D.60解析:建立如图所示的空间直角坐
2、标系,则 A(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),C(1,1,0),=(1,1,0),=(0,-1,1).=-1.设异面直线 AC 与 BF 所成的角为 ,cos =|cos=.,|=2 8 2=1 2=.,1 25 25 2=2 5答案:D3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,EFAC,EFA1D,则 EF 与 BD1所成的角是( )A.90B.60C.30D.0解析:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 a,则 A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),=(a,0,a),=(-a,
3、a,0),=(-a,-a,a).11EFAC,EFA1D,设=(x,y,z),=(x,y,z)(a,0,a)=ax+az=0,1=(x,y,z)(-a,a,0)=-ax+ay=0.a0,x=y=-z(x0).人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题7=(x,x,-x).=-.1 ,即 BD1EF.1 故 EF 与 BD1所成的角是 0.答案:D4 二面角 -l- 内有一点 P,若点 P 到平面 , 的距离分别是 5,8,且点 P 在平面 , 内的射影间的距离为 7,则二面角的度数是( )A.30B.60C.120D.150解析:如图,PA,PB,ADB 为二面角 -l-
4、 的平面角.由题意知 PA=5,PB=8,AB=7,由余弦定理,可得 cos APB=,52+ 82- 722 5 8=1 2则APB=60,故ADB=120.答案:C5 在空间中,已知平面 过点(3,0,0)和(0,4,0)及 z 轴上一点(0,0,a)(a0),若平面 与平面 xOy 的夹角为 45,则 a= . 答案:12 56 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,B1C 和 C1D 与底面所成的角分别为 60和 45,则异面直线 B1C和 C1D 所成角的余弦值为 . 解析:建立如图的空间直角坐标系,可知CB1C1=60,DC1D1=45.设 B1C1=1,则 CC1=DD1.3C
5、1D1=,则有 B1(,0,0),C(,1,),C1(,1,0),D(0,1,).333333=(0,1,),=(-,0,).13133人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题8cos=.1,111|1|1|=3 2 6=6 4答案:6 47 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC=BC,且BAC= ,则 PA 与底面 ABC 所成角的大小为 . 2解析:如图所示,PA=PB=PC,P 在底面上的射影 O 是ABC 的外心.又BAC= , 2O 在 BC 上且为 BC 的中点.AO 为 PA 在底面上的射影,PAO 即为所求的角.在PAO 中,PO=PB=PA
6、,3 23 2sinPAO=. =3 2PAO= . 3答案: 38 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,直线 BC1与平面 A1BD 所成角的余弦值是 . 人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题9解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为 1,则 B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0).=(-1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0).11设平面 A1BD 的一个法向量为 n=(1,x,y),设 BC1与平面 A1BD 所成的角为 ,n,n,1所以 n=0,n=0,1所以- 1 - = 0, - 1 - = 0
7、,?解得 = - 1, = - 1.?所以 n=(1,-1,-1),则 cos=-,11|1|6 3所以 sin =.6 3所以 cos =.1 -(6 3)2=3 3答案:3 39 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,ABBC,求二面角 B1-A1C-C1的大小.解:如图建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2).设 AC 的中点为 M,连接 BM.BMAC,BMCC1,人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题10BM平面 AA1C1C,即=(1,1,0)是平面
8、AA1C1C 的一个法向量.设平面 A1B1C 的一个法向量是 n=(x,y,z).=(-2,2,-2),=(-2,0,0),111n=-2x=0,n=-2x+2y-2z=0,令 z=1,解得 x=0,y=1.n=(0,1,1).111设法向量 n 与的夹角为 ,二面角 B1-A1C-C1为 ,显然 为锐角.cos =|cos |=,|=1 2解得 = .二面角 B1-A1C-C1的大小为 . 3 310 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的侧棱 AA1垂直于底面,底面 ABCD 为直角梯形,ADBC,ADAB,AD=AB=AA1=2BC,E 为 DD1的中点,F 为 A1D 的中点.(1)求
9、证:EF平面 A1BC;(2)求直线 EF 与平面 A1CD 所成角 的正弦值.(1)证明E,F 分别是 DD1,DA1的中点,EFA1D1.又 A1D1B1C1BC,EFBC,且 EF平面 A1BC,BC平面 A1BC,EF平面 A1BC.(2)解:由题意可知 AB,AD,AA1两两垂直,以 AB 所在直线为 x 轴,以 AD 所在直线为 y 轴,以 AA1所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设 BC=1,则 A(0,0,0),A1(0,0,2),C(2,1,0),D(0,2,0),D1(0,2,2),F(0,1,1),E(0,2,1),故=(0,1,0),=(0,2,-2),=(-2,1,0).1设平面 A1CD 的法向量 n=(x,y,z),则1 = (,)(0,2, - 2) = 2 - 2 = 0, = (,)( - 2,1,0) = - 2 + = 0.?取 n=(1,2,2),则 sin =|cos|=|=,|1 0 + 2 1 + 2 0 1 + 4 + 4 0 + 1 + 0|=2 3故直线 EF 与平面 A1CD 所成角 的正弦值等于 .2 3人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题11
