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1、湍流的数学模型,报告人： 指导老师： 中南大学防灾科学与安全技术研究所2013.04,Contents,第1章 湍流导论,湍流现象描述 湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。湍流中流体的各个物理参数，如速度、压力、温度等都随时间与空间发生随机变化。 湍流与层流自然界中的流体流动状态主要有两种形式，即层流(laminar)和湍流(trubulence)。层流是指流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而湍流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，湍流是普遍的，而层流则属于个别情况。判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数是否超过临界雷诺数。雷诺数的定义如下：式中：V为截面的平均速度；L为
2、特征长度； 为流体的运动粘度。 当Re2000，管内流动保持稳定的层流状态。,1.1、湍流的认识,第1章 湍流导论,1.1、湍流的认识葛饰北斋的浮世绘作品神奈川冲浪里,1.1 湍流的认识,湍流物理特征,大尺度的涡旋,小尺度的涡旋,主要由流动边界条件决定，从主流获得能量，是引起低频脉动的原因。,由于流体粘性的作用，不断消失，从而产生能量耗散；是引起高频脉动的原因。,“随机”和“脉动”是湍流流场的重要的物理特征。,1.1 湍流的认识,Kolmogorow尺度分布理论 在描述湍流行为的理论中，Kolmogorov尺度分布理论 是相当重要也是非常普适的一种。 1 Kolmogorow长度尺度湍流能量的
3、耗散发生在小涡结构中，这一最小的湍流流动结构尺寸可用Kolmogorow长度尺度表示：2 Kolmogorow时间尺度,Kolmogorow时间尺度表示最小湍流结构的动量扩散时间，它的定义为,第1章 湍流导论,1.2 湍流的统计平均法统计平均方法是湍流研究的开始.他将不规则的流场分解为规则的平均场和不规则的脉动场，同时也引出了封闭雷诺方程的世纪难题。湍流的随机性统计平均方法是处理湍流流动的基本手段，这是由湍流的随机性所决定的。研究湍流的统计平均方法在湍流理论中，有多种统计平均方法。例如时均法、体均法、按概率平均法（或称系综平均法）等。下面将分别予以讨论，然后在进行比较。,1.2 湍流的统计平均
4、法,1 时均法 时均法的确切定义是：,上式中的速度瞬时值是任一次试验结果，积分限中的下线 可以任意取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影响平均值的结果。 当时间间隔T很长时，有：这时，速度时均值不再是时间的函数，这就是雷诺平均。,应用时均法需满足下列要求：平均值与平均的起始时刻 及时间间隔 T（只要足够长）无关。而且平均值本身不再是时间的函数，因此，时均法只能用于讨论定常的湍流流动。,1.2 湍流的统计平均法,2 体均法湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。体均值要求与积分体积 的大小及 所处的坐标位置无关。因此严格说来，体均法只适用于描述对体均值而言的均匀的湍流流场。
5、3 概率平均法（系综平均法）,时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者适用于定常湍流，后者适用于均匀湍流。对于一般的不定常非均匀流，可以采用随机变量的一般平均法，即概率平均法。在相同条件下重复N次试验，再对此N次试验值取平均。若能对某种湍流找到相应的概率密度，则湍流问题就可认为已经解决。,1.2 湍流的统计平均法,三种平均法之间的关系及各态遍历假说,时均法只适用于定常湍流，体均法只适用于均匀不定常湍流。在什么物理条件下，普遍适用的概率平均值和时均值或体均值等价？ 各态遍历假说的思想：一个随机变量在重复许多次的试验中出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长的时间或相当大的空间范围内以相同
6、的概率出现。 各态遍历假说的结论：对于一个满足各态遍历的系统，三种平均值相等在各态遍历假说成立的前提下，可以用时均法研究不定常流动。,脉动值,随机值与平均值之差称为涨落，在湍流中称为脉动,脉动值是随机变量，平均值是统计的决定性变量，全部湍流理论就是研究脉动值和平均值之间的互相关系。,第1章 湍流导论,1.3、湍流的基本方程 湍流瞬时控制方程(包括连续方程、动量方程和能量方程)可用通用微分方程表示。,一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方程和N-S方程(动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。,第1章 湍流导论,1.3、湍流的基本方程（不可压）,N-S方程,平均值与脉动值之和为流动变量的瞬
7、时值,将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均流动与瞬间脉动流动的叠加：,1.3 湍流的基本方程,以上为Reynolds时均方程，引入的Reynolds应力 有6个未知分量，由于雷诺平均方程中未知数个数大大多于方程个数而出现了方程不封闭的问题。必须做假设引入雷诺应力的封闭模型即建立湍流模型才能求解出平均流场。,Reynolds时均方程,1.3 湍流的基本方程,雷诺应力输运方程,上式称为不可压缩湍流的雷诺应力输运方程，方程中各项分别用 ， ， ， ， 来表示。,雷诺应力在平均运动轨迹上的增长率。,脉动压强和脉动速度变形率张量相关的平均值，称再分配项。,雷诺应力与平均运动速度梯
8、度的乘积，产生湍动能的关键，称生成项。,具有扩散性质，称雷诺应力扩散项。,脉动速度梯度乘积的平均值，使湍流能耗散，故称耗散项。,1.3 湍流的基本方程,其它变量时均方程时均化的能量方程,雷诺热流,二阶相关量 3个未知量,第一章 湍流导论,1.4、湍流封闭问题,湍流模式理论的主要任务就是研究湍流方程的封闭方法。核心问题 求解雷诺应力,第2章 湍流的数值模拟方法简介,2.1 湍流数值模拟方法的分类湍流运动的数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。所谓直接数值模拟方法是指求解瞬时湍流控制方程。非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流做某种程度的近似和简化处理。
9、根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为大涡模拟、统计平均法和Reynolds平均法。,第2章 湍流的数值模拟方法简介,2.2 模型比较,湍流模型方法(RANS方法),大涡模拟方法(LES方法),直接数值模拟(DNS方法),给出了时间平均的流动信息，易于工程应用,抹去了流动的瞬态特性及细观结构，适合高雷诺数，不具普适性,介于RANS与DNS之间，非常成功的应用于RANS不能满足要求的高端应用，如燃烧、混合、外部空气动力学。,亚格子湍流模型有待进一步完善,无需湍流模型，能精确给出湍流瞬态演变过程,数值求解方法难度大，适合低雷诺数,第3章 湍流模型（RANS）,不可压缩时均运动控
10、制方程组之所以出现方程组不封闭（需求解的未知函数较方程数多），在于方程中出现了湍流脉动值的雷诺应力项。要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。所谓湍流模型，是依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，把脉动值附加项与时均值联系起来的一些特定的关系式。,3.1 湍流模型的分类,湍流涡粘模型 雷诺应力模型,1. 湍流涡粘模型（Eddy-Viscosity Models ，EVM）这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入涡粘系数（Eddy Visco
11、sity），然后把湍流应力表示成为涡粘系数的函数，整个计算关键在于确定这种湍流粘性系数。 引入Boussinesq涡粘性假设，认为雷诺应力与平均速度梯度成正比，即将Reynolds应力项表示为,湍流粘性系数,基于不同的假设，湍流模型分为,湍动能：,3.1 湍流模型的分类,一方程模型,常系数模型 二维Prandtl混合长度理论,零方程模型 一方程模型 两方程模型,零方程模型,根据确定湍流粘性系数 的微分方程数目，又可分为,3.1 湍流模型的分类,由求解湍流特征参数的微分方程来确定湍流粘性。包括k-、k-、 k-g 模型等 。其中，应用最普遍的是 k-模型。,两方程模型,以上介绍的模型都是基于Bo
12、ussinesq假设，认为湍流粘性系数各向同性，难于考虑旋转流动及流动方向表面曲率变化的影响，不适用于复杂流动。,针对k-模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。重整化群k-模型（renormalization group，RNG model）可实现k-模型（realizable k- model）多尺度k-模型（multiscale model of turbulence）,3.1 湍流模型的分类,雷诺应力方程模型（Reynolds Stress Model，RSM）,由各项异性的前提出发，完全抛弃了Boussinesq表达式及 的概念，直接建立以雷诺应力为因变量的微分方程，然后作适当假设
13、使之封闭。这种模型也称为二阶封闭模型。,主要思想是设法将应力的微分方程简化为代数表达式，以减少RSM模型过分复杂的弱点，同时保留湍流各项异性的基本特点。,代数应力方程模型（Algebraic Stress Model，ASM）,2 雷诺应力方程模型,3.2 湍流模型具体介绍,标准 模型,可实现 模型,RNG 模型,3.2 湍流模型具体介绍,1 零方程模型 代数涡粘模型,这一假设并无物理基础，且采用各向同性的湍流动力粘度来计算湍流应力，难于考虑旋转流动和表面曲率变化的影响，但以此为基础的湍流模型目前在工程计算却应用最为广泛。,所谓零方程模型就是不使用微分方程，而是基于Boussinesq1877
14、年的假设，用代数关系式，把湍流粘度与时均值联系起来的模型，它只用湍流的时均连续方程和Reynolds方程组成方程组，把方程组中的Reynolds应力用平均速度场的局部速度梯度来表示。,1 零方程模型,零方程 Prandtal混合长度理论 零方程中最著名的是Prandtl提出的混合长度模型（mixing length model）。,混合长度定义：脉动微团在经历这段距离内保持有不变的脉动速度值。表示：微流微团的作用范围。混合长度模型的特点：直接用平均量梯度代数表达式来模拟Reynolds时均方程组中未知的应力或热流、物质流关联项。lm由实验或直观判断加以确定。,对于自由剪切流,充分发展的湍流管流
15、,1 零方程模型,普朗特混合长度模型的评价,优点：直观、简单，无须附加湍流特性的微分方程适用于简单流动，如射流、边界层、管流、喷管流动等。另外，研究历史较长，积累了很多经验。,缺点1：在 处必然是湍流粘性T为零，或剪力、热流、扩散流均为零与实际不符。,混合长度模型相当于湍流能量达到局部平衡，即湍流的产生等于湍流的耗散，亦即认为湍流的对流（上游影响）和扩散（断面上的混合）均为零。不符合湍流本身特性。缺点2：只有简单流动中才能给出lm的表达式。对复杂流动如拐弯或台阶后方有回流的流动，就很难给出lm的规律。,1 零方程模型,零方程模型的适用性,二维带有中等程度的压力梯度的可压缩流合适;带有轻微横向流
16、的三维边界层也合适 ;有曲率、旋转或分离时不适用 ;因压力或湍流而形成二次流时以及有突然的变形或剪切率变化时也不适用;有激波诱导的分离流不准.事实上零方程模式仅适用于处于局部平衡状态的湍流。忽略了对流和扩散的影响。对处理有分离、回流等现象的复杂流动并不适用。Kolmogorov和 prantl 放弃了寻找湍流粘性系数和时均速度梯度之间的直接关系的方法 ,而是通过求解微分方程确定湍流粘性系数,以此来弥补混合长度假设的局限性，这样产生了单方程的湍流模型 。,2 单方程模型,为了弥补混合长度假定的局限性，在使用湍流时均连续方程和Reynolds方程的基础上，再建立一个湍流动能k的输运方程，而 表示成k的函数，从而可使方程封闭。这里，湍流动能k的输运方程可写为：,
