《2018年高中数学人教a版选修2-1第2章圆锥曲线与方程 2.4.2习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学人教a版选修2-1第2章圆锥曲线与方程 2.4.2习题含解析（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题12.4.2 抛物线的简单几何性质课时过关能力提升基础巩固基础巩固1 抛物线 2y=3x2的准线方程为( )A.y=-B.y=-1 61 4C.y=-D.y=-11 2解析:抛物线的标准方程为 x2= y,2 3准线方程为 y=- .1 6答案:A2 以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与 x 轴垂直的弦)长为 8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x 或 y2=-8xD.x2=8y 或 x2=-8y解析:抛物线的通径为 2p=8,且以 x 轴为对称轴,其方程为 y2=8x
2、 或 y2=-8x.答案:C3 顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是( )A.x2=3yB.y2=6xC.x2=12yD.x2=6y答案:C4 如图,已知点 Q(2,0)及抛物线 y= 上的动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是( )22 4人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题2A.2 B.3C.4 D.22解析:如图所示,过点 P 作 PM 垂直抛物线的准线于点 M,则由抛物线的定义可知 y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当 P,F,Q 三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由 F
3、(0,1),Q(2,0),得最小值为|QF|=2=3.(2 2 - 0)2+ (0 - 1)2故 y+|PQ|的最小值为 3-1=2.答案:A5 过抛物线 y2=2px(p0)的焦点作一条直线,交抛物线于点 A(x1,y1),B(x2,y2),则为( )1212A.4B.-4C.p2D.-p2解析:(方法一)特例法:当直线垂直于 x 轴时,A,B=-4.( 2,)( 2, - ),1212=- 22 4(方法二)由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得 y1y2=-p2,则=-4.1212=1221 222 2=42 12=42- 2答案:B6 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点
4、O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( )A.2B.223C.4D.25解析:由抛物线定义,知 +2=3,即 p=2,抛物线方程为 y2=4x.因为点 M(2,y0)在抛物线上,所以 y0=2, 22故|OM|=2.4 + 203答案:B7 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( )A.y=x-1 或 y=-x+1B.y=(x-1)或 y=-(x-1)3 33 3人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题3C.y=(x-1)或 y=-
5、(x-1)33D.y=(x-1)或 y=-(x-1)2 22 2答案:C8 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=7,则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为 . 解析:抛物线的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1,p=2.由抛物线的定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p,即 x1+x2+p=7, 2 2故 x1+x2=5.于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 ,5 2因此点 M 到抛物线准线的距离为 +1= .5 27 2答案:7 29 若双曲线=1(p0)的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线
6、上,则 p= . 2 31622答案:410 求抛物线 y=x2上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离.解:设抛物线 y=x2上一点 P(x0,y0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为 d,则 d=|0- 0- 2| 2=|2 0- 0+ 2|2=.1 2|(0-1 2)2+7 4|当 x0= 时,dmin=.1 27 2 811 过点(-3,2)的直线与抛物线 y2=4x 只有一个公共点,求此直线方程.解:因为当 k 不存在时,直线方程为 x=-3 与抛物线无交点,所以直线斜率 k 存在,设直线方程为 y-2=k(x+3),由消去 x,整理得 - 2 = ( + 3), 2= 4,?ky
7、2-4y+8+12k=0.(1)当 k=0 时,方程化为-4y+8=0,即 y=2,此时过点(-3,2)的直线方程为 y=2,满足条件.人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题4(2)当 k0 时,方程应有两个相等的实根,所以 0, = 0,?即 0, 16 - 4(8 + 12) = 0,?解得 k= 或 k=-1.1 3则直线方程为 y-2= (x+3)或 y-2=-(x+3),1 3即 x-3y+9=0 或 x+y+1=0.由(1)(2)可知所求直线有三条,其方程分别为 y=2 或 x-3y+9=0 或 x+y+1=0.能力提升能力提升1 已知直线 y=kx-k
8、及抛物线 y2=2px(p0),则( )A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:直线 y=kx-k=k(x-1),直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线 y2=2px 的内部,当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点;当 k0 时,直线与抛物线有两个公共点.答案:C2 直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y2=x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直线 x+ =0 的距离1 2等于( )A.B.2C.D.47 49 4解析:直线 4kx-4y-k=0,即 y=k,即直线 4kx-4
9、y-k=0 过抛物线 y2=x 的焦点.( -1 4)(1 4,0)设 A(x1,y2),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+ =4,即 x1+x2= ,1 27 2则弦 AB 的中点的横坐标是 ,故弦 AB 的中点到直线 x+ =0 的距离是.7 41 27 4+1 2=9 4答案:C3 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上,且|AK|=|AF|,则AFK2的面积为( )人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题5A.4B.8C.16D.32解析:抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,
10、K(-2,0).设 A(x0,y0),如图所示,过点 A 向准线作垂线,垂足为 B,则 B(-2,y0).|AK|=|AF|,2且|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得=(x0+2)2,20即 8x0=(x0+2)2,解得 x0=2,y0=4.AFK 的面积为 |KF|y0|= 44=8.1 21 2答案:B4 过抛物线 y= x2的准线上任意一点作抛物线的两条切线,若切点分别为 M,N,则直线 MN 过定点( )1 4A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)解析:y= x2可化为 x2=4y,则抛物线的准线方程为 y=-1.
11、取准线上的特殊点(0,-1),并设过点(0,-1)与抛物1 4线相切的切线方程为 y+1=kx,代入到 x2=4y 中并消去 y,得 x2-4kx+4=0.令 =(-4k)2-16=0,则 k=1.求得 M,N 的坐标分别为(2,1),(-2,1).结合选项可知直线 MN 必过点(0,1).答案:D5 若抛物线过点(1,2),则抛物线的标准方程为 . 解析:当焦点在 x 轴正半轴时,设其方程为 y2=2p1x(p10),则 4=2p1,即 p1=2,故抛物线的标准方程为 y2=4x.当焦点在 y 轴正半轴时,设其方程为 x2=2p2y(p20),则 1=4p2,即 p2= ,1 4故抛物线的标
12、准方程为 x2= y.1 2答案:y2=4x 或 x2= y1 2人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题66 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则点 B 到该抛物线准线的距离为 . 解析:如图所示,由已知可得点 B在抛物线 y2=2px 上,( 4,1)即 1=2p ,故 p=. 42故 B,准线为 x=-.(2 4,1)2 2因此,点 B 到准线的距离为.3 2 4答案:3 2 47 抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是 . 解析:设 P(x,-x2)为抛物线上任一点,
13、则点 P 到直线 4x+3y-8=0 的距离d=|-3x2+4x-8|4 + 3( - 2) - 8|42+ 32=1 5=,1 5|- 3( -2 3)2-20 3|故当 x= 时,d 取最小值,为.2 31 520 3=4 3答案:4 38 过点 A(-2,-4)作倾斜角为 的直线,交抛物线 y2=2px(p0)于 M,N 两点,且|AM|,|MN|,|AN|成等比数 4列,求抛物线的方程.解:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则由题意知 MN 的方程为 y=x-2.由消去 x,得 y2-2py-4p=0, = - 2, 2= 2,?人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修
14、 2-1 习题7故 y1+y2=2p,y1y2=-4p.又根据|AM|AN|=|MN|2,可得(y1+4)(y2+4)=(y1-y2)2,即 5y1y2+4(y1+y2)+16=(y1+y2)2,即 p2+3p-4=0,解得 p=1 或 p=-4(舍去).故所求抛物线的方程为 y2=2x.9 已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB 的面积等于时,求 k 的值.10(1)证明如图所示,由2= - , = ( + 1),?消去 x 得,ky2+y-k=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-1,
15、y1+y2=- .1 因为 A,B 在抛物线 y2=-x 上,所以=-x1,=-x2.2122所以=x1x2.212 2因为 kOAkOB=-1,1122=1212=1 12所以 OAOB.(2)解:设直线与 x 轴交于点 N,显然 k0.令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0).因为 SOAB=SOAN+SOBN= |ON|y1|+ |ON|y2|1 21 2= |ON|y1-y2|,1 2所以 SOAB= 11 2(1+ 2)2- 412人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题8=.1 2(-1 )2+ 4因为 SOAB=,10所以,解得 k=.10 =1 212+ 41 610 已知 A,B 是抛物线 x2=2py(p0)上的两个动点,O 为坐标原点,非零向量满足,|=|. + (1)求证:直线 AB 经过一定点;(2)当线段 AB 的中点到直线 y-2x=0 的距离的最小值为时,求 p 的值.2 5 5(1)证明|=|, + OA
