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1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题13.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关能力提升基础巩固基础巩固1 下列说法正确的是( )A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底a,b,c中基向量与基底e,f,g中基向量对应相等解析:A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B 项,空间基底有无数个;D 项中因为基底不唯一,所以 D 错.故选 C.答案:C2 已知点 A 在基底a,b,c下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点 A 在基底i,
2、j,k下的坐标是( )A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)解析:=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:A3 在空间直角坐标系 Oxyz 中,下列说法正确的是( )A.向量与点 B 的坐标相同B.向量与点 A 的坐标相同C.向量与向量的坐标相同D.向量与向量的坐标相同 答案:D4 点 A(-1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为( )A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1
3、,2,0),(-1,2,0)解析:由点 A 在 x 轴投影知 y=0,z=0,由点 A 在 xOy 平面投影知 z=0.故选 B.答案:B人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题25 设i,j,k是空间的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量 a,b 的坐标分别为 , .答案:(2,-4,5) (1,2,-3)6 已知a,b,c是空间的一个基底,下列向量可以与 p=2a-b,q=a+b 构成空间的另一个基底的是 (填序号). 2a -b c a+c答案:7如图,在边长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,取点 D 为原点建立空间直角
4、坐标系,已知 O,M 分别是AC,DD1的中点,写出下列向量的坐标.= ,= . 1答案:(-2,0,1) (1,1,2)8如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,AB=2CD,点 O 为空间任一点,设=a,=b,=c,则向量用a,b,c 表示为 . 答案: a- b+c1 21 29 如图所示,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,建立适当的空间直角坐标系,求的坐标.1解:=-.1= + 1= + + 1 + + 1以为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,A,1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题3则=-=-=(-1,1,1).1 + + 1
5、+ + 110 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点,并且 PA=AD=1,如图所示,设=e1,=e2,=e3,以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系 Axyz,求向量的坐,标.解:由题意得=e2. = =e2-e1-e3, = = + = + + =-1 2 + +1 2=- e2+e3+ (e2-e1-e3)=- e1+ e3.1 21 21 21 2=(0,1,0). =(-1 2,0,1 2),能力提升能力提升1 有下列叙述:在空间直角坐标系中,x 轴上的点的坐标一定是(0,b,c);在空间直角坐标系中,在 yOz 平面上点的坐
6、标一定可写成(0,b,c);在空间直角坐标系中,在 z 轴上的点的坐标可记作(0,0,c);在空间直角坐标系中,在 xOz 平面上点的坐标是(a,0,c).其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:错,x 轴上的点的坐标应是(a,0,0).正确.答案:C人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题42 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AC 与 BD 的交点为 M,设=a,=b,=c,则下列向11111量中与相等的向量是( )1A.- a+ b+cB. a+ b+c1 21 21 21 2C. a- b+cD.- a- b+c1 21 21 21 2解
7、析:1 = 1 + =)1 +1 2 = 1 +1 2( + =)=c+ (-a+b)1 +1 2(11+ 111 2=- a+ b+c.1 21 2答案:A3 设 p:a,b,c 是三个非零向量;q:a,b,c为空间的一个基底,则 p 是 q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当非零向量 a,b,c 不共面时,a,b,c可以当基底,否则不能当基底.当a,b,c为基底时,一定有a,b,c 为非零向量.答案:B4如图,在空间四边形 OABC 中,=a,=b,=c,点 M 在 OA 上,且=2,N 是 BC 的中点,=xa+yb+zc,则 x,y
8、,z 的值为( )A. ,-B.-1 22 3,1 22 3,1 2,1 2C.,-D.,-1 2,1 22 32 3,2 31 2答案:B人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题55 已知向量=(-4,-3,-1),把按向量(2,1,1)平移后所得向量的坐标是 . 答案:(-4,-3,-1)6 设i,j,k是空间向量的单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量 a,b 的关系是 . 解析:ab=-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0,ab.答案:ab7 已知在空间四边形 ABCD 中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线 AC,BD 的中点
9、分别为 E,F,则= .解析:,且, = + + = + + 两式相加,得 2=()+(). + + + E 为 AC 的中点,F 为 BD 的中点,=0,=0. + + 2=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.=3a+3b-5c. = + 答案:3a+3b-5c8 已知向量 p 在基底a,b,c下的坐标是(2,3,-1),求 p 在基底a,a+b,a+b+c下的坐标.解:由已知得 p=2a+3b-c.设 p=xa+y(a+b)+z(a+b+c)=(x+y+z)a+(y+z)b+zc,则有 + + = 2, + = 3, = - 1,?解得 = - 1, = 4, = -
10、1,?故 p 在基底a,a+b,a+b+c下的坐标为(-1,4,-1).9 已知正方体 ABCD-ABCD,点 E 是上底面 ABCD的中心,求=x+y+z中 x,y,z 的值.解: = + = +1 2=) +1 2( + = +1 2 +1 2人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 2-1 习题6=.1 2 +1 2 + =x+y+z,x= ,y= ,z=1.1 21 210 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是 BB1,D1B1的中点,求证:EF平面 B1AC.分析设=a,=c,=b,把向量分别用 a,b,c 表示出来,证明=0,=0 即1,1和1E11可.证明设=a,=c,=b,有 ab=0,ac=0,bc=0.1则) = 1+ 1 =1 2(1+ 11=)=)1 2(1+ 1 2(1+ = (-a+b+c),1 2=a+b.1= + 1= + 1(-a+b+c)(a+b)1=1 2= (|b|2-|a|2)=0.1 2,即 EFAB1. 1同理 EFB1C.AB1B1C=B1,EF平面 B1AC.
