《2018年高中数学人教a版选修1-1第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1习题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高中数学人教a版选修1-1第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1习题含解析（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 1-1 习题12.3.2 抛物线的简单几何性质(一)课时过关能力提升基础巩固基础巩固1.抛物线 2y=3x2的准线方程为( )A.y=1 6. =1 4C.y=1 2. = 1答案:A2.已知圆 x2+y2-6x-7=0 与抛物线 y2=2px(p0)的准线相切,则 p=( )A.1B.2C.3D.4解析:抛物线 y2=2px 的准线为 x= 2,圆的标准方程为(x-3)2+y2=42,故圆心为(3,0),半径为 4,则 3p=2.+ 2= 4.故答案:B3.如图,已知点 Q(2 2,0)及抛物线 =2 4上的动点(,),则 + |的最小值是
2、( )A.2B.3C.4D.2 2解析:如图,过 P 作 PM 垂直抛物线的准线于点 M,人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 1-1 习题2则由抛物线的定义,可知 y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当 P,F,Q 三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由 F(0,1),Q(|QF|2 2,0),得最小值为=(2 2 - 0)2+ (0 - 1)2= 3.故 y+|PQ|的最小值为 3-1=2.答案:A4.设过抛物线 y2=2px(p0)的焦点的弦为 AB,则|AB|的最小值为( )A. 2.C.2pD.无法确定解析:当 ABx 轴时,|AB|取最
3、小值,最小值为 2p.答案:C5.若抛物线 y2=x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( )A.(1 4, 2 4).(1 8, 2 4)C.(1 4,2 4).(1 8,2 4)解析:由题意知,点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离,因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上,P 的横坐标y=P 的坐标B.而(1 4,0),所以点为18,代入抛物线方程得2 4,故点为(18, 2 4),故选答案:B6.设抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A,B 两点,则的值是( )A.3 4. 3 4.3. 3答案:B7.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物
4、线于 A,B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2).若 x1+x2=6,则|AB|= ,解析:直线 AB 过焦点,|AB|=x1+x2+p=6+2=8.答案:88.已知抛物线 y2=2px(p0),直线 l 经过其焦点且与 x 轴垂直,并交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=10,P 为抛物线的准线上一点,则ABP 的面积为 . 解析:由题意,xA=xB= 2,10=xA+xB+p=2p=10,p=5.又点 P 到 AB 的距离为焦点到准线的距离,人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 1-1 习题3SABPp=1 2|=1 2 10 5 = 25.答案:259.过抛物线
5、y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=7,则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为 . 解析:抛物线的焦点为(1,0),准线方程为 x=-1,p=2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1x1+x2+p=7,+ 2+ 2 + 2= 1 + 2 + ,即所以 x1+x2=5.于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为5 2,因此 M 到抛物线准线的距离为5 2+ 1 =7 2.答案:7 210.若长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=2x 上移动,M 为 AB 的中点,求点 M 到 y 轴的最短距离.解:设抛物线的焦点为 F,
6、连接 AF,BF,如图,抛物线 y2=2x 的准线为 l:x=A,B,M 分别作 AA,BB,MM垂直于 l,垂足分别为点 A,B,M.1 2,过点由抛物线定义,知|AA|=|FA|,|BB|=|FB|.又 M 为 AB 的中点,由梯形中位线定理,得|MM|xM 的横坐标,当且仅当=1 2(| + |) =1 2(| + |) 1 2| =1 2 3 =3 2,则3 21 2= 1(为点AB 过抛物线的焦点时取得等号),所以 xmin=1,即点 M 到 y 轴的最短距离为 1.能力提升能力提升1.人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 1-1 习题4如图,F 为抛物线 y2=4x
7、的焦点,A,B,C 在抛物线上,0,则若 + + =| + | + |等于( )A.6B.4C.3D.2解析:设点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又 F(1,0),0,且 + + =x1-1+x2-1+x3-1=0,x1+x2+x3=3.| + | + | = 1 + 2+ 2 + 2+ 3 + 2= 6.答案:A2.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且|AK|AFK 的=2|,则面积为( )A.4B.8C.16D.32解析:抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,K(-2,0).设 A(x
8、0,y0),如图,过点 A 向准线作垂线,垂足为 B,则 B(-2,y0).|AK|=2|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,由|BK|2=|AK|2-|AB|2,8x0=(x0+2)2,得2 0= (0 + 2)2,即解得 x0=2,y0=4.AFK 的面积|y0|为12|=1 2 4 4 = 8.答案:B人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 1-1 习题53.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,点 F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0的取值范围是( )A.(0,2)B.0,2C.(2,+
9、)D.2,+)答案:C4.抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲ABF 为等边三角形,线232 3= 1相交于,两点,若则 p= . 解析:抛物线的准线方程为 y=A,B 的横坐标分别为 xA,xB,则|xA|2=|xB|2=3|AB|=|2xA|.又 2,设+ 42,所以焦点到准线的距离为 p,由等边三角形的特点得 pp2p=6.=3 2|,即=3 4 4 (3 + 42),解得答案:65.过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,若 A,B 在准线上的射影为 A1,B1,则A1FB1= . 解析:如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|
10、BB1|=|BF|,AA1F=AFA1,又AA1F=A1FO,AFA1=A1FO,同理BFB1=B1FO,于是AFA1+BFB1=A1FO+B1FO=A1FB1.故A1FB1=90.答案:906.已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,则以 AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是 . 解析:直线 AB 过焦点,以 AB 为直径的圆与准线 y=-1 相切,当圆的半径最小时,在 x 轴上截得弦长最小.又 ABy 轴时最小,最小值为 2p=4,人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 1-1 习题6圆半径 r=2,圆心即焦点到 x 轴
11、的距离为 1,圆截 x 轴所得弦长为2 2- 1 = 2 3.答案:2 37.如图,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A,B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程.解:过点 A,B 分别作准线的垂线 AA,BD,垂足分别为点 A,D,则|BF|=|BD|.又 2|BF|=|BC|,在 RtBCD 中,BCD=30.又|AF|=3,|AA|=3,|AC|=6,|FC|=3.点 F 到准线的距离 p=1 2| =3 2.y2=3x.8.已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为2 2的直线交抛物线于(1,1),(2,2)
12、(1 2)两点,且| = 9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 = + ,求的值.解:(1)直线 AB 的方程是 y=y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0,2 2( - 2),与所以 x1+x2=5 4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x.人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修 1-1 习题7(2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2,2 = 4 2,从而 A(1,-2 2),(4,4 2).设 = (3,3) = (1, 2 2) + (4,4 2) = (4 + 1,4 2 2 2),又2 3= 83,即 2 2(2 1)2 = 8(4 + 1),即(2-1)2=4+1,解得 =0 或 =2.
