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1、1解三角形解三角形知识点、题型与方法归纳知识点、题型与方法归纳一、知识点归纳（一、知识点归纳（注重细节，熟记考点注重细节，熟记考点）1正弦定理及其变形正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）变式：变式：12 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC（）(边化角公式）2 sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3: :sin:sin:sina b cABC（）sinsinsin(4),sinsinsinaA aA bB bB cC cC2正弦定理适用情况：正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需
2、要判断三角形解的情况）.3余弦定理及其推论余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbc acbBac abcCab4 4余弦定理适用情况：余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.注解三角形或判定三角形形状时注解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化边角转化(这也是正余弦定理的 作用)，统一成边的形式或角的形式.5 5常用的三角形面积公式常用的三角形面积公式（1）；高底21ABCS（2） （两边夹一角） ；111=sinsinsin2224abcSabCacB
3、bcARABCR为外接圆半径6 6三角形中常用结论三角形中常用结论（1）,(abc bca acb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在中，所以 ；ABCABCsinsinABCcoscosABC ；tantanABC sincos,22ABCcossin22ABC7 7实际问题中的常用角实际问题中的常用角2（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 （如图）注：仰角、俯角、方位角的区别
4、是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图）如： 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.45（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角 为坡角）二、题型示例（二、题型示例（注重基础，熟记方法注重基础，熟记方法）考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用1在中，若A60，B45，BC3，则 AC ( )ABCV2A4 B2 C D333322在中，则等于( )ABCV2223abcbcAA60 B45 C120 D150考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3
5、设的内角所对的边分别为, 若, 则的ABCV, ,A B C, ,a b ccoscossinbCcBaAABCV形状为( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定4若ABC 的三个内角满足，则ABC( )7:5:3sin:sin:sinCBAA一定是锐角三角形 B一定是直角三角形3C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5在中，若 ，则ABC 是( )ABCcos Acos BbaA等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形考点三：利用正余弦定理求三角形的面积6在中，,，则面积为( )ABC3AB 1AC 30AABCA BC或 D或 3
6、23 43 233 43 27已知的三边长，则的面积为( )ABC3,5,6abcABCA B CD142 14152 15考点四：利用正余弦定理求角8在锐角中ABC,角,A B所对的边长分别为, a b.若2 sin3 ,aBbA则角等于( )A12B6C4D39在ABC 中，若 a18，b24，A45，则此三角形有 ( )A无解 B两解 C一解 D解的个数不确定10在ABC,内角, ,A B C所对的边长分别为, , .a b c1sincossincos,2aBCcBAb且ab,则B ( )A6B3C2 3D5 6考点五：正余弦定理实际应用问题11如图：A，B 是海面上位于东西方向相距海
7、里的两个观测点，现位于 A 点北偏东，B5 3345点北偏西的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西且与 B 点相距海里的 C 点的606020 3救援船立即前往营救，其航行速度为每小时 30 海里，该救援船到达 D 点需要多长时间？三、高考真题赏析三、高考真题赏析1（2016 年山东）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知4tantan2(tantan).coscosABABBA（）证明：a+b=2c; （）求 cosC 的最小值.2（2016 年四川）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且.coscossinABC abc（I）证明：
8、；sinsinsinABC（II）若，求.2226 5bcabctan B3（2016 年全国 I）的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC2cos( coscos).C aB+bAc（I）求 C；（II）若的面积为，求的周长7,cABC3 3 2ABC54(2015 高考新课标 2)中，是上的 点，平分，面积是面积的 2 倍ABCDBCADBACABDADC() 求； ()若，求和的长 sin sinB C 1AD 2 2DC BDAC5（2015 高考四川，理 19） 如图，A，B，C，D 为平面四边 形 ABCD 的四个内角.（1）证明：1costan;2sinAA A（2）若求的值.180 ,6,3,4,5,ACABBCCDADotantantantan2222ABCDABCD66 （2013 级绵阳一诊，19）已知如图，在中，Rt ABC，点 D、E 是斜边 AB 上两点60A6AB (I)当点是线段靠近的一个三等分点时，求的值；DABACD CA (II)当点在线段上运动时，且，设，试DE、AB30DCEACD用表示的面积，并求的取值范围DCESS
