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1、 高等数学公式高等数学公式导数公式：导数公式：基本积分表：基本积分表：axxaaaxxxxxxxxxxaxxln1)(logln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tan22222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxx Caxx axdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxxdxxCxdxxxCxxdxxdxCxxdxxdxx x)ln(lncsccotcscsectanseccotcscsintanseccos22222 22 2CaxxadxCxaxa axadxCaxax a
2、axdxCax axadxCxxxdxCxxxdxCxxdxCxxdx arcsinln21ln21arctan1cotcsclncsctanseclnsecsinlncotcoslntan22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnn narcsin22ln22)ln(221cossin2 2222222 2222222 222222020三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：222212 211cos12sinududxxtguuuxuux， ， ， 和差角公式：和差角公式： 和差化积公式：和差化积公式：倍角公式：倍角
3、公式：半角公式：半角公式： cos1sin sincos1 cos1cos1 2cotcos1sin sincos1 cos1cos1 2tan2cos1 2cos2cos1 2sin正弦定理：正弦定理： 余弦定理：余弦定理： RCc Bb Aa2sinsinsinCabbaccos2222反三角函数性质：反三角函数性质：xarccxxxtan2arctanarccos2arcsin2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsincotcot1cotcot)cot(tantan1tantan)tan(sinsincosco
4、s)cos(sincoscossin)sin(2333tan31tantan33tancos3cos43cossin4sin33sin222222tan1tan22tancot21cot2cotsincossin211cos22coscossin22sin高阶导数公式高阶导数公式莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式：)()()()2()1()(0)()()(!) 1() 1( ! 2) 1()(nkknnnnnkkknk nnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv 中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉
5、格朗日中值定理：xxFf aFbFafbfabfafbf)(F)()( )()()()()()()(多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyz FF xzzyxFdxdy FF yFF xdxyd FF dxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxv vz xu uz xzyxvyxufztv vz tu uz dtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz， ， 隐函数， ， 隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),()
6、,(),()(),(),(),(22多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( , 0),( , 00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx常数项级数：常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqn n1 31 2112) 1(32111112级数审敛法：级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛 ，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数
7、收敛 ，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUu lim;3111 lim2111 lim1211 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,( nnn nnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111) 1(1) 1 () 1 ()2() 1 ()2()2() 1 (23212
8、1pnpnnnuuuuuuuupnnnn 幂级数：幂级数：0010)3(lim)3(11111112 21032 RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnn nnnn nn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0( ! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(
9、 2 01 0)1(00)( 2 00 00时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：)()!12() 1(! 5! 3sin) 11(!) 1() 1( ! 2) 1(1)1 (12 1532 xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxn nnm欧拉公式：欧拉公式： 2sin2cos sincosixixixixix eexeex xixe 或微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。 得：的形式，解法：
10、为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或 一阶微分方程：uxy uudu xdxudxduudxduxudxdy xyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：) 1 , 0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的
11、，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21
12、rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2 qpxrxrececy21 21两个相等实根)04(2 qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2 qp24 2221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx 线性代数公式大全 最新修订1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；n2n!n2n 2.代数余子式的性质：、和的大小无关；ijAija、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为
13、0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；A3.代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)ijij ijijijijMAAM 4.设行列式：nD将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；D1D(1) 2 1( 1)n n DD 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；D902D(1) 2 2( 1)n n DD 将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；D3D3DD将主副角线翻转后，所得行列式为，则；D4D4DD5.行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；(1) 2( 1)n n 、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； 、和：副对角元素的乘积； (1) 2( 1)n n 、拉普拉斯展开式：、AOACA BCBOB( 1)m nCAOAA BBOBC :、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于阶行列式，恒有：，其中为
