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1、破解直线与圆中的破解直线与圆中的“定定”的问题的问题直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，是高考必考考点之一，考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等。在解答此类问题的探索过程中，学生常常找不到解题的切入点，为此，我们须弄清此类问题，切实掌握其解决的方法。一、定点问题一、定点问题我们对于过定点的直线系并不陌生，如是过定点的直线系，ykx0,0O是常数）是过定点的直线系，是常数）是过定点(ykxb b0,b( ,yk xab a b的直线系，等等，那么，如何迅捷地找到直线所过的定点呢？, a b例例 1 平面直角坐标系中，直线恒过一
2、定点xOy14233 120k xk yk ，而直线也过点，则 。P60mxyPm 解法解法 1：直线，1423340k xk yk 整理得， 4312230kxyxy令，解得，所以，43120 230xy xy 3 0x y 3,0P代入直线，得，答案：2.60mxy2m 解法解法 2：令，则；令，则；1 4k 0y 2 3k 3x 所以直线必过直线与直线的交点14233 120k xk yk 0y 3x ，显然，代入直线，得。3,03,0P60mxy2m 点评：点评：含有参数的直线过定点时，只需将含有参数的部分整理到一起，0AxByC不含参数的部分整理到一起，令系数均为 0 即可解方程得直
3、线所过的定点。变式变式 1：（2014 四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线mRA0xmyB交于点，则的取值范围是30mxym,P x yPAPBA. B. C. D. 5,2 5 10,2 5 10,4 52 5,4 5答案答案 B。例例 2 已知圆，则圆过定点 22:2410102001C xykxkykk C。解法解法 1：圆的方程可变形为，所以圆C22102024100xyykxy必过两曲线与的交点，C2210200xyy24100xy联立方程，解得，所以圆过定点。221020024100xyyxy1 3x y C1, 3答案为。1, 3解法解法 2：令，则，令，则，0k 2210
4、200xyy5 2k 22550xyx圆所过的定点必是曲线与的交点；C2210200xyy22550xyx而联立方程，解得，所以圆过定点。222210200550xyyxyx1 3x y C1, 3点评：点评：直线与圆的定点问题要善于从运动中寻求不变的特性，挖掘曲线方程与哪些参数无关。常见的方法有两种：其一，直接按参数分离变量，进而解出定点坐标；其二，从特殊入手，求出定点，再证这个定点与参数取值无关。变式变式 2：若圆的圆心到直线的距离最大时，2228130xyxy10axy 则（ ）a A. B. C. D.1 331 33答案答案：A。二、定直线问题二、定直线问题定直线问题往往是动点所在的
5、定直线、动圆的定切线，含有多个参数，其几何特征不明显，解决时常常不知从何入手，此时，须紧扣等量关系恒成立，应用待定系数法来处理。例例 3 平面直角坐标系中，已知半径为的的圆心在直线上，xOyrMAM23yx且在轴右侧，被轴轴截得的弦长为.yMAy3r（1）求的方程；MA（2）当变化时，是否存在定直线 与均相切？如果存在，求出定直线 的方程；rlMAl如果不存在，说明理由。解析：解析：（1）设，则的方程为，,230M aaaMA22223xayar设到轴的距离为，即，由被轴轴截得的弦长为，MyddaMAy3r所以，得，2223 2rdr2rda故的方程为。MA2 2232rxyrr （2）假设存
6、在定直线 与均相切，定直线 的斜率不存在时，显然不合题意；lMAl设直线 的方程为，则对于恒成立，lykxb2321rkrb r k 0r 由，得21312krbr k，2 2221123302kkrkbrb因为上式对任意实数恒成立，所以，解得或r 2 22110223030kkkbb 03kb ，4 3 3kb 所以存在两条定直线和与动圆均相切。3y 4390xyMA点评：点评：本题动圆的圆心与半径都在变化，其几何特征不明显，故采取直接论证恒成立。解决含有多个参数的等量关系恒成立时，必须紧扣等式的成立与的取M ldrr值无关这一特点。变式变式 3：已知圆，直线 的方程222 1:23240C
7、xymmml，圆关于直线 对称的圆为。2yxm1Cl2C（1）证明：当变化时，的圆心在一条定直线上；m2C（2）求所表示的一系列圆的公切线方程。2C提示：提示：（1）关于直线 对称的点，在一条定直线12,32Cml221,1Cmm2C上.（2）设公切线方程为，则对210xy ykxb 22112 1kmmbm k 于恒成立，整理得，m22432 21110kmkkbmkb所以，解之得， 24302 211010kkkbkb 3 4 7 4kb 所以所表示的一系列圆的公切线方程为，即。2C37 44yx 3470xy三、定圆问题三、定圆问题动直线与定圆相切，是研究恒成立，或者联立方程恒成立，再按
8、参数dr弦心距0 整理，令参数的系数为 0，得到方程组，最后解方程组求出圆心与半径。例例 4 已知点在上，纵坐标为，求证：直线恒与Py20t t 12,3QttPQ一个圆心在轴上的圆相切，并求出圆的方程。xMM解析：解析：由题意知，0,2Pt12,3Qtt所以直线的方程为，即，PQ122ttytx 221240txtyt设圆的方程为，则恒成立，M2220xayrr 222221414tat r tt 整理得，或，222141tatr t222411ttar t所以，或恒成立，240artar 240artar 故，或，解得，400arar 400arar 22ar 因此直线恒与一个圆心在轴上的圆相切，圆的方程为。PQxMM2224xy点评：点评：解答题解题步骤是：设圆的方程-化简或恒成立变量分离dr弦心距0 求圆心与半径写出定圆方程，如果是客观题，用特例法比较方便。变式变式 4：已知直线总与一个定圆相切，则该定圆方程2:21440lmxmym为 。答案答案 。22224xy综上，破解直线与圆中的“定” ，关键抓住“定”中蕴含着的与参数取值无关的恒成立思想，另外也可以特化参数值，巧妙地避开参数的干扰。
