数学方法论的教育指导作用

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1、1数学方法论的教育指导作用摘要：数学方法论是数学文化的一部分，其内容是目前开展的数学文化课程建设的重要核心组成部分。因此，建议在今后的数学文化课程建设中以数学方法论理论为目标，选取适当内容并结合具体数学知识，培养学生的科学和人文素质。本文还指出了数学方法论尚未在高校普及的原因以及数学方法论在数学创新方面的辅助指导作用。关键词：数学文化，数学方法论，学法早在 20 世纪 80 年代初期，徐利治先生就在中国倡议数学方法论的学习和研究，并在随后的数年间数学方法论陆续在我国部分高校开花结果，相关专著和论文也不断涌现。从百度上了解到，至今在全国已经举办了 11 期数学方法论与数学教学研讨会。自本世纪初至

2、今，关于数学文化课程建设的教改活动在高校中不断展开，目标是培养学生的科学素养与人文素养，全面育人。而数学方法论是数学文化的一部分，其研究内容以及由此提出的教改模式即 学法早已在全国中小学、部分高师院校开展起来，并且实验效果还挺好。可是目前在全国部分高校掀起了一股数学文化课程建设并在高校开展该课程教学的热潮，这与数学方法论有什么区别呢？它们之间的关系是什么？就这样的问题，本文做简要回答，不当之处，请各位专家给与批评指正。1、数学文化先简要回顾一下人们文化与数学文化的认识。文化，是人的活动对大自然的变革所创造的物质与精神财富的总和。费孝通先生对“文化”作了简洁解释，即：“人为，为人” ，即凡是非自

3、然的，由人类发明制造，而又服务于人的福利的东西都叫做文化1，所以文化本质上是“人化” ，即把人从作为动物的自然人“化”为能参与社会群体生活的“社会人” 。对于文化的内涵，杨叔子院士和王义遒教授分别给出了具体解释。杨院士认为2，文化的内涵至少有 5 个方面：知识、思维、方法、原则与精神。他解释说，没有知识就没有文化，没有思维的知识是没有力量的文化；方法是文化的根本，方法是知识、思维同实践的桥梁；原则是文化的精髓，而精神是文化的灵魂。这 5 个方面不是割裂开来的，而是相互渗透的形成文化的内涵整体。王义遒教授1认为，文化的内涵有 3 个方面：一是物质层面上的，二是制度方式层面的，包括处世的礼仪规范和

4、事业运行的方法规则，等，三是精神层面的。其实杨院士的 5 方面与王教授的 3 层面是一致的：知识方面就是物质层面上的东西，思维、方法与原则是制度层面上的，而精神就属于精神层面上的。只是他们对文化内涵的认识方面不同，杨院士是从文化的人化角度给出定义的，而王教授是从辩证唯物论角度定义的，他们本质上是一样的。数学文化是文化的一部分，其内涵有物质层面上的括数学的定义、性质、公理、定理、推论，等；制度层面上的法、发现与发明数学的基本原则、数学美学思想，等；有精神层面上的究应有的态度和品格，等。从数学文化的内涵上来看，数学文化具有科学文化和人文文化功能，也就是，数学文化的物质层面就是让学生学到基本的数学知

5、识、基本运算技能和基本的应用技能，掌握应有的基础数学知识是学习数学的根本；而这些基本数学知识是如何得来的，又是如何演绎的，也就是需要我们弄明白数学知识的“源”与“流” 。其中的思维方法，比如，类比、联想、不完全归纳，等形象思维起着关键的理解作用，而这些思维方法也广泛应用于社会生活中，这充分体现了数学文化的人文作用。而数学文化精神层面的态度和品格有助于培养学生正确的人生观，通过数学文化的学习学生能深刻认识到数学知识的产生需要经过几代数学家的艰辛劳动和坚韧不拔的毅力得到的，从中付出了大量的心血和汗水，以此培养学生吃苦耐劳、尊重他人劳动的正确人生观， 这也是数学文化的人文功能。正是数学文化具有这样的

6、文理交融特点，数学文化课程建设及其教改工作目前在2全国部分高校正在轰轰烈烈地展开。2008 年 7 月，召开了第一届“全国高校数学文化课程建设研讨会” （以下简称研讨会） ，这是首次举办这样的研讨会。2011 年 7 月在南开大学召开了第二届研讨会，参加人数比上一次多，规模大，有许多学者在会上做了指导性的工作报告。第三届研讨会是 2014 年 8 月在大连理工大学召开的，这次会议参会人员达到近 400人，规模更大，层次也更高，有 28 位学者教授做了大会发言，包括教育部原副部长周远清先生、中国高等教育学会会长翟振元教授、高等学校“大学生文化素质教育指导委员会”主任杨叔子院士（书面发言） 、南开

7、大学原校长侯自新教授、北京大学原常务副校长王义遒教授、南开大学、全国教学名师顾沛教授，等。顾教授特别指出了数学文化课程研讨会“一呼而起，久盛不衰”的 3 个原因3：一是它顺应了素质教育的潮流，顺应了文化素质教育的潮流，二是它“文理交融”的特色，三是它强调培养学生的数学思想、数学素养。本次大会的主题是“育人为本，进一步提高数学文化类课程的质量” ，其发展趋势有 2 方面：一是“推广” ，二是“提高质量” 。关于如何推广、如何提供质量，这里就不展开讨论了。如何建设数学文化课程呢？南开大学开设的数学文化课程是我们的借鉴，他们确定的课程选材原则是4：“第一，以数学史、数学问题、数学知识为载体，介绍数学

8、思想、数学方法、数学精神。第二，涉及的数学知识深浅适当，以能讲清数学思想为准，使各专业的学生都能听懂，都有收获。第三，开阔眼界，纵横兼顾，对于数学的历史、现状和未来，都要有所介绍，对于数学与人文的各种关系，都要有所涉及。总之，选材要贯彻素质教育的思想，要注意科学精神与人文精神的交叉与融合，既要着眼于提高学生的数学素质，又要着眼于提高学生的文化素质和思想素质” 。为了增添数学文化课的兴趣性，南开大学“从数学典故、数学问题、数学方法、数学观点、数学思想等角度切入，进行教学” ，取得了很好的教学效果。2008 年由高等教育出版社出版了他们的杰作数学文化 ，已成为许多高校的公选教材。2、数学方法论其次

9、，我们简述一下数学方法论的研究内容和由此提出的教改模式学法。数学方法论是在美籍匈牙利数学家波利亚的名著数学的发现 、 数学与猜想 、 数学解题等基础上，于 20 世纪 90 年代在中国兴起的，这远早于目前开展的数学文化课程建设及教学改革。数学方法论的学习与研究工作是以著名数学家徐利治先生于 1983 年 4 月出版的数学方法论选讲为标志，自从出版后在全国教育界引起了轰动，开展了热烈讨论，有关数学方法论丛书，比如关系映射反演方法 （徐利治，郑毓信 著） 、 数学中的美学方法 （徐本顺，殷启正 著） 、 数学的特殊化与一般化 （阴东升，卞瑞玲，徐本顺 著） ，等陆续出版，这进一步丰富和完善了数学方

10、法论的研究内容。那么什么是数学方法论呢？徐利治先生在其选讲中早就给出了回答5：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门学问” 。研究和讨论数学发展规律的途径可从中外数学发展史的丰富材料中归纳出来，由谁来归纳？一般来说，数学家的归纳结论是最让人信服的，这是因为他们具有丰富的科研经验，他们能从数学发展史中洞察到引进该数学知识点的“源”和“流” ，他们会从中总结归纳出研究者采用了什么样的数学思想和方法，而这样的思想方法是否具有普适性，等。从数学发展史中研究数学的发现和发明规则不是件容易事，研究者需要具有较强的数学科研能力才能真正扑捉到。就同一

11、个数学问题，很有可能出现这样情况：发现和发明数学问题的人与研究它的人在发现和发明思维上殊途同归或者不谋而合。因此，具有较强数学科研能力的数学工作者总结归纳的发现、发明原则具有很强说服力和可信度。大数学家波利亚的数学的发现 、 数学解题 ，等名著，真实地反映了他从事数学研究的思维方法、思维方式，指出了问题的提出和解决途径，据说这样的杰出工作比他在数学上做出的具体贡献更吸引人，更名声在外，因此他的这些专著被翻译成多种文字，在全球流传。徐利治先生在函数逼近论、组合数学3等数学分支方面做出了卓越贡献，他是大数学家，这是有目共睹的。因此，他的数学方法观点具有极大的可靠性和说服力。比如，徐先生总结归纳出来

12、的关系反映原则（也称为则）是解决数学问题的一个重要法则，是对傅里叶变换思想的极大升华。不仅如此，徐先生将数学思想方法与马克思的辩证唯物主义观相结合，提出了具有中国特色的数学方法论观点。比如，从认识论和本体论角度，徐先生和他的合作者，比如，郑毓信先生，王前教授，等提出了“数学是一种模式真理”的数学观，并对数学的真理性程度做了详细分析。根据这样的观点，数学模式在本体上就具有两重性：就内容而言，具有明确的客观意义，是思维对客观实在的能动反映，因此数学是发现的；就其形式而言，数学不是客观世界中的真实存在，它只是创造性思维的产物，因此数学又是发明的。那么，发现数学、发明数学靠什么手段或方法呢？徐先生从个

13、人的科研经验和体会以及对数学发展史的挖掘中给我们总结出了下面的常用规则6：特征概括原则、强化结构法则、新元素添加完备化法则、对偶原理、排除悖论法则，等。关于这些法则的具体解释和应用，可参考徐先生的有关数学方法论文集6,7，这里就不再赘述了。进一步的问题是：研究和讨论数学方法论的目的是什么？从教育层面上，数学方法论具有培养学生的科学素养和文化修养功能；从科学研究层面上看，数学方法论具有发现问题、解决问题的创新辅助指导作用；从数学方法论本身而言，其研究内容非常丰富，包括数学与思维、数学与哲学、数学史与数学发展史志、数学发展与近代科学技术的关系，等等。本文，我们只就前 2 个方面问题做一下简单说明。

14、自 1989 年开始，徐利治先生就提出了运用数学方法论的观点指导数学教学的一种教学方式，称为 育方式7,8，其中心目的就是指导学生如何去发现数学、发明数学，又是如何解决提出的数学问题，这种方法不是波利亚教学模式的复制品，而是发展了他的数学思想，充分体现了数学科学的科学功能和人文功能。这也就是说，学法以数学知识为载体，既教猜想又教证明。教学过程充分体现以下 8 个方面8：数学的返璞归真、数学中的美育、数学的发现法、数学家的优秀品质与数学史志、数学中的演绎推理与合情推理以及一般解题法。利用 学法教学刚才说过必须以具体的数学知识为载体，通过不同的、让学生感兴趣的、能理解的手段，教会学生应该掌握和了解

15、的基础知识、培养他们的基本计算能力和应用能力，这是数学教育的最基本的要求，离开数学具体知识大谈方法、思想，则是空洞的、无的放矢的，因此数学方法论具有科学功能。运用数学思想和方法引导学生“返璞归真” ，即数学问题是如何提出的，又在什么基础上演绎的，数学家经历了什么样的磨难和失败获得的，或者一个数学问题的提出是用类比方法还是归纳方法得到的，或者是从特殊如何一般化的，等等系列问题，无不反映了数学方法论的人文教育。这样的教学方法比传统的定义、性质、公式、定理一条线教学方式有趣的多，起到化难为易作用。徐利治先生和徐沥泉教授曾经指出8：“学习数学的困难并不是它本身的抽象形式，而是离开了它抽象的背景，离开了

16、用似真推理来发现它的过程，离开了在受到挫折以后对反馈信息的分析，离开了生动活泼的创造发明的活动机制” 。自 1990 年，学方式由中学发展到小学、职校和高师，由无锡推广到全国，实验班由几十个发展到二千多个，不仅如此，学方式还传播到海外9，实践证明，学法是可行有效的，值得继续试验和推广。到目前为止， “数学方法论与数学教学研讨会”在全国已经举办了 11 期，方兴未艾。另外，数学方法理论除了对数学教学具有强有力的指导作用外，对从事数学研究的工作人员来说，也具有辅助指导作用，这是因为数学思想方法在数学科研过程中可能只是宏观指导，其外延相对具体的研究内容而言大的多，比如类比法，一般化与特殊化，不完全归纳法，等可适用于不同的数学问题、不同数学学科，真正的数学创造存在于数学知识间的微妙的内在变化关系上，其中渗透着