第八章控制系统的数学模型

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1、检测技术与自动控制工程基础,第八章 控制系统的数学模型材料成型及控制工程专业（必修）,控制系统的数学模型,引言 传递函数概念 动态结构图 典型环节的传递函数 自动控制系统的传递函数,8.1 引言,下图是自动控制系统的例子，可以借助工作原理图对加热炉温度控制系统进行定性地描述，而要进行定量描述我们还需要进一步分析输入量给定电压与输出量炉温T的定量关系。,8.1 引言,为了从理论上对自动控制系统进行定量分析计算，首先要建立控制系统的数学模型。 控制系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 常用的数学模型有微分方程（组）、状态方程、传递函数、频率特性、动态结构图等。

2、在经典控制理论中，传递函数是最基本的描述控制系统特性的数学模型。,8.1 引言,建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是十分重要的。合理包括两条：（1）反映元件及系统的特性要正确；（2）写出的数学式子要简明； 控制系统数学模型的求取可采用解析法和实验法。 解析法是根据系统和元件所遵循的有关定律来建立数学模型的。用解析法建立数学模型时，对其内部所体现的运动机理和科学规律要十分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求所建立的数学模型要合理。,8.1 引言,实验法是根据实验数据来建立数学模型的，即人为地在系统上加上某种测试信号，用实验所得的输入和输出数据来辨识系统的结构，阶次和参数，这种方法也称为系

3、统辨识。 微分方程微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。对于线性连续的控制系统，通常用常系数线性微分方程式来描述，如果以r(t)表示输入量，c(t)表示输出量，则系统特性可用下列微分方程式来描述：,8.1 引言,式中 及 分别为与系统结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关，一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。,用解析法建立微分方程的步骤是,1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规

4、律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；各阶导数项按降幂排列；将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。,8.2 传递函数概念,传递函数可定义为：在零初始条件下，在线性定常系统中，系统的输出量c(t)的拉氏变换C(s)与输入量r(t)的拉氏变换R(s)之比，即说明：1）传递函数是线性定常系统在复频域里的数学模型，其与微分方程一样，包含了系统有关动态方面的信息。,8.2 传递函

5、数概念,2）传递函数是在零初始条件下定义的，当初始条件不为零时，传递函数不能反映系统的全部特点。 3）传递函数反映的是系统本身的一种属性，其各项系数完全取决于系统本身的结构与参数，与输入量的大小和性质无关。 4）传递函数包含联系输入量与输出量所必须的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息（许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数）。 5）如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质。 自动控制系统是由若干个典型环节组合而成的，典型环节包括比例环节，惯性环节，积分环节，微分环节，振荡环节，一阶比例微分环节，二阶比例微分环节，不稳定环

6、节，延迟环节等。,8.2 传递函数概念,炉温控制系统方框图,炉温控制系统方框图,8.2 传递函数概念,上图描述了建立控制系统的微分方程数学模型和传递函数模型的途径，已及相互之间的转换关系。 当控制系统结构复杂，环节较多时，求取传递函数可以按以下步骤： 首先确定系统的输出信号和输入信号； 将系统分解为各个独立的子环节，分别求取各元部件的传递函数，填写到方框图中，并用信号线将这些方框连接起来，得到系统的动态结构图； 对动态结构图进行等效变换，得到系统的传递函数。,8.2 传递函数概念,传递函数的零点和极点 传递函数分子、分母多项式分解后写成,8.2 传递函数概念,式中 是分子多项式的零点，称为传递

7、函数的零点。 是分母多项式的零点，称为传递函数的极点。传递函数的零点和极点可以是实数，也可以是复数。系数 称为传递系数或根轨迹增益。 传递函数的分子多项式和分母多项式经因式分解后也可以写成：,称为传递函数的开环增益。,8.3 动态结构图,定义动态结构图（方块图）是图形化的数学模型，它是一种系统输入和输出之间因果关系的简略图示方法，表示了系统的输出、输入信号之间的动态传递关系。如下图就是一个最简单的动态结构图。,8.3 动态结构图,组成要素方块表示输入、输出信号之间的传递关系，方块输出信号等于方块输入信号与方块中传递函数的乘积。例如上图中，信号线表示系统中信号的流通方向，一般在信号线上标注所对应

8、的变量。信号只能沿箭头方向流通，绝不可逆向传递。,8.3 动态结构图,引出点表示信号从该点引出，从同一点引出的信号，大小和性质完全相同。 比较点表示两个或两个以上的信号，在该点相加减，比较点处信号的运算符号必须标注正（）、负（），一般不标者取正号，同时进行运算的信号必须有相同的量纲。 前向通道从输入到输出并且没有重复的通道称为前向通道。上图中前向通道的传递函数为G(s)。 反馈通道从输出点向输入点方向流动的通道称为反馈通道，上图中反馈通道的传递函数为H(s)。,8.3 动态结构图,动态结构图的特点 1.动态结构图形象、直观，便于研究系统的动态特性 2.同一系统可画出不同的动态结构图，即结构图不

9、是唯一的，但是得到的结果系统的传递函数是唯一的。 动态结构图的建立步骤（3步法）： 1、建立系统各元部件（或典型环节）的微分方程； 2、对各微分方程进行拉氏变换，并作出各元部件的动态结构图；,8.3 动态结构图,3、按照系统中各信号的传递顺序，依次用信号线将各方块连接起来。置系统的输入变量于左端，输出变量于右端，便得到了整个系统的动态结构图。 例1：求取RC电路的动态结构图,解：（1）写出组成系统的各环节的微分方程，求 取各环节的传递函数,（2）画出各元部件的方框图,（3）从相加点入手，按信号流向依次连接成完整 动态结构图。,结构图的等效变换,进行结构图等效变换的目的是使结构图更简洁，并最终可

10、以得到只有输入、输出和传递函数的最简形式。 进行结构图等效变换必须保证变换的等效性，即变换前后输入输出总的数学关系应保持不变，并且保证信号传递的单向性。,结构图的等效变换,串联变换、并联变换和反馈变换法则,G1,G2,G1 G2,G1,G2,G1 G2,结构图的等效变换,分支点的移动规则根据分支点移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则，可将分支点顺着信号流向或逆着信号流向移动。 （1）前移,结构图的等效变换,（2）后移,结构图的等效变换,相加点移动规则 （1）前移,结构图的等效变换,（2）后移,结构图的等效变换,等效单位反馈变换规则,结构图的等效变换,交换或合并比较点原则,结构图的等效变换,

11、因为内反馈线消除规则内反馈线消除的规则是，消除内反馈前后保证输入，输出信号关系不变。使用的方法可以是前面介绍的结构图等效变换规则。,例2：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,例2：试简化系统结构图，并求系统传递函数。,例2：简化系统结构图，求系统传递函数。,*作业：,通过方框图变换求取如下图所示系统的传递函数。,8.4 典型环节的传递函数,在自动控制系统中，无论是电气元件、液压元件、机械元件，还是气动元件，只要数学模型相似，其动态性能必然相似。 通常，把具有低阶简单因子的数学模型称为典型环节，如：比例环节、积分环节、理想微分环节、惯性环节、振荡环节、二阶微分环节。,比例环节,比例环节的方块图

12、如下G(s)=K，K为常数，称为比例系数或增益。 运算放大器、电位器、齿轮减速器等就是常见的比例环节,积分环节,积分环节的微分方程为传递函数为,理想微分环节,理想微分环节的微分方程为 传递函数为 测速发电机的输出电压与输入角位移信号之间是微分环节，电感线圈的电流作为输如信号，电压为输出信号，也是纯微分环节,惯性环节,惯性环节的微分方程为 传递函数为,一阶微分环节和振荡环节,一阶微分环节的微分方程为 一阶微分环节的传递函数为 振荡环节的微分方程为振荡环节的传递函数为 RLC网络和弹簧-质量块-阻尼动力系统就是振荡环节。,二阶微分环节,二阶微分环节的微分方程为二阶微分环节的传递函数为一个控制元部件

13、的传递函数可能含有一个或多个典型环节的组合，一个典型环节也可能代表几个实际控制元部件的组合，如放大环节可以是几级放大器的总增益，因此，典型环节与控制元部件之间并不完全是一一对应关系。,8.5自动控制系统的传递函数,一个闭环自动控制系统的典型结构如下图R(S)指令信号，输入信号；N(s)干扰信号，也是一种输入信号，一般作用在受控对象上，也可能出现在其它元部件上；,8.5自动控制系统的传递函数,C(s)被控量，输出信号；B(s)反馈信号；E(s)误差信号。（1）系统开环传递函数将H(s)的输出断开，把G(s)H(s)称为该系统的开环传递函数。,8.5自动控制系统的传递函数,（2）输入R(s)作用下的闭环传递函数（令N(s)=0）误差传递函数,8.5自动控制系统的传递函数,（3）干扰N(s)作用下的闭环传递函数（令R(s)=0）,8.5自动控制系统的传递函数,（4）系统的总输出C(s)及总误差 E(s),