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1、数学精神与方法第五猎|七运余之丢寸选代的奶办致A2Vh行)奉$3.1经典数学的统一“数形合一“我们已在ZFC形式集合论的框架下定义了抽象的自然数系N,并知道最小归纳集w就是一个具体的自然数系,而所有的自然数系在结构上是统一的。本讲我们将阚明:正是自然魔系的结构)最终为分析教学;方垂整个经典数学,奠定了稳固而可靠的基础,在数学史上,第一次实现了真正意义上的“数形合一“。那么,在数学上,“数形合一“是怎样实现的?自然数的运算定义1(自然数的加法和乘法)设nyw表示自然数系N上的后继函数,我们定义(1)自然数的加法,用符号K+“表示,是指N上具有下列性质的运算X十0二XX+y=x+y),其中x,y表
2、示N.中任意两个自然数。一(2)自然数的渡洁,庞答弓“ol赤示星挡y万其相卞九性质的运算X0=0,Xy=xy+X，其中.表示x。注:术语“运算“表示这样一种昭射*:有一个集合D,使得D。m(_)=DXD脑份gD.武时,称*为D上的运算,并对veyeD,以x#y记*(r川定义1的合理性定义1在定义加法和乘法时,对v(xy)eNxN,并未直接定义x+y和xy,而是规定x+o=x5和x.o=o，十多二+刃,芒一水十芒。这种定义方式是递归式的,其合理性需加以证明,即,需证明N上的加法和乘法都是可以唯一实现的(满足相应规定的运算。作为递归定理的应用,的确可以证明此等定文的吾理性-定理1定义1中人义的加法
3、祝法都是N上可以啶一实现的运算证要回顾递归定理:设5是一个集合,g:$一为一个映射,a为S的一个固定元素,那么从N到S存在唯一的映射y:N一S,使得Y(0)J=a,且y(0)=poy(m。0推论:切VxeN,x+:N一N和x.:N一N都是映射;从而12水+二X+2目X人二X。自然数的运算性质定理20N上的加法满足如下运算律;目x+y=3+(交换律2)Gc+yJJHz=z+(+z(结合律3)】x+0=xi(加法零元律)弘x+y=x+z刀一z。(消去律N上的乘法漾足如下运算律:仁(交振律2)r玟sx-O(结合律3)0.x=0(乘法零元律弘(c.y=x-zJA(ex0j二y=zi(消去律35)x(y
4、+z)=囊y+鬓z(分配律推论孝二H中伟4一二H自然数的大小顺序考虑由加法运算引出的最简方程式a+x=5(o5sN已知,而reN未知待求)(Eq.1)就会发现,方程(Eq:1并非总是有解的。围绕方程(Eq.1)的求解,产生了自然数的序的概念。定义2(自然数的序设a5sN,称a小于或等于5,用a表示,是指方程(Eq.D有解;称a小于5,用a表示,是指aa0。注:是N的于余关系,|月是确家关系的万我联系著行个方程的解的存在性而已,这万关系我们称作N上的自然序:依此定义,我们立即有命题l方程(Bq.D有解当且仅当a0。定义3设5是N的一个子集,ae5。若(vxe8)a=口)则称a是S的最小元。自然序
5、的性质定理3N上的自然序具有下述性质假序与全序的定义目=日A句一(=日;反对称悦汪是集吾%上的一个奂系,国2)(as)A(b5史二(ascj:(传递性)D刃s办5(一者必居其一;(可比性)加果D志一个自反,反层称和传递切as5一a+cs5+ei的关系,则称它是X上的一个偷序;九es5二aesb.ci如果D还造合对任意的xyeX,x,日N的任一非空汀绢郭有技小苔|咤标性绒则秦伟场吊L的全序-注:良序性与数学归纳原理等价。有了上面的定理1、定理2和定理3,我们所熟悉的自然数系统就从逞辑上严格地确立起来了。值得注意的是,上面三条定理的建立是基于自然数系的抽象结构的,即基于皮亚诺的五条公理,与自然数系
6、的具体实现无关。从自然数系到整数系自然数系的数学结构尚不能保证方程(Eq:1总是有解,这在实际应用中极不方便。人的实践活动要求把自然数系扩充成一个使方程CEq1)总有解的新数系。怎样实现这样的扩充呻?据自然数的理论,显然有命题2)方程CEq.D有解aN,(zbj_)一(0)其中a在此作为一个符号看待,仅表示它是方程(Eq.D的解,它由序偶(a,j所唯一决定。注:按符号b一a的定义,b一0二b。于是,上述映射是满射。注意映射z诱导了对其定义域D。m(r)=()EN】s的一个分类,确切讲,此分类是frr6-g|agepome)不难证明,对v(a5)eDom(c),有r一】(，一)=(x】y)EN】_n+y=翼+矗。现对v(ab)sN5命呵zy)忡+y严x+b.并命LOU.COnl乙=叠高)恤静)EN那么Z是N“的一个分类,并且r诱导了一个从N到Z中的单射7.:一Z,5y7化0)。(2)注:所谓A是集合a的一个分类,意指A适合:ACP(aj,wA=a,(vreAjr#幻)并昆A中不等的两个集合必不相交。
