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1、有限差分法主要步骤： 利用网格将区域离散处理； 构造差分格式 用差分、差商来代替微分、微商，将微分方程离散化为差分方程，并将定解条件离散化； 解线性代数方程组 建立差分格式后，微分方程的求解就可归结为求解一个线性代数方程组，通过解线性代数方程组，得到的是数值解。,有限差分方法,有限差分法：偏微分方程的一种数值解法。,差分法的基础是用差商代替微商。 若y=f(x)是连续函数，则它的导数为,f/ x差商，df/dx微商。 在 x到达零以前， f/ x 只是df/dx的近似，两者的差值| f/ x - df/dx |表示差商代替微商的偏差。,用差商代替微商，则微分方程就变成了差分方程。,1. 差商与
2、微商,1 有限差分法基础,2. 差分公式,偏微分方程数值解法的基本原理是用几个相邻点的函数值和相邻点的间距来表示某点的导数。邻点间的距离可以相等，也可以各不相等 。,考虑函数f(x)，将自变量x等间距离散化，取步长为x，令xi=ix ，fi=f (xi) (i=0,1, ) 则依据所取函数值的不同，可得到不同形式的差分公式。,现只讨论等间距即均匀网格中函数的导数。,x=xi+1-xi (i=0,1, ),向前差公式（导数在点xi计算，而差商取fi及向前一点fi+1）,向后差公式（导数在点xi计算，而差商取fi及向后一点fi-1）,中心差公式（两侧差分平均值）,函数f(x)在x=xi处的二阶导数
3、,函数f(x)的一阶导数,(xi-1,xi)和(xi,xi+1)两区间的一阶导数差除以x得到,一般地说，当差分公式的截断误差E=O(x p)时，则称其具有p阶精度。,向前差公式 在x=xi展开得， E=O(x)； 向后差公式 在x=xi展开得，E=O(x)； 中心差公式 在x=xi展开得， E=O(x2)； 二阶导数公式 在x=xi展开得， E=O(x2)。,对差分公式按泰勒级数展开，可得各自的截断误差E。,可见，后两个公式比前两个公式精度高一阶。,截断误差,2 有限差分的基本原理,存在初值的一维热传导问题，可以用下式表示,在给定条件下，上述偏微分方程有唯一确定的解。,(1) 定解区域的离散化
4、,用网格线将定解区域离散化为节点集，是将微分方程定解问题离散化为差分方程的基础。,（2）,一维热传导或扩散方程：,（1）,其中：,称为导温系数或扩散系数,图 1定解区域网格线,节点: 网格线的交点,空间步长： 平行于t轴的网格线间距,时间步长： 平行于x轴的网格线间距,网格线:,其中,节点(,)常简记为(,),初值问题的解u是依赖连续变化的变量x和t的函数。采用有限差分法求解u在节点上的近似值。也就是说，把依赖连续变化x和t的问题归结为依赖离散变化i和j的问题。,(2) 差分方程的建立（差分格式的构造）,对于节点(i, j)，u的偏微商与差商之间有以下关系,将上面两式代入式（1），并去掉O(x
5、2+t)项，可得,（5）,该式称为方程（1）的有限差分方程。,（3）,（4）,改写成便于计算的形式:,称为网格比,其中,式（1）中的初始条件：,其中,差分格式：通常把定解问题中的微分方程的差分方程和定解条件的离散形式统称为定解问题的一个差分格式,显式差分格式 下一时刻节点的函数值可由当前时刻直接计算得到,隐式差分格式 差分格式在t=(j+1) t时间层上包含多于一个节点的未知数,传热分析用到的物理参数及其单位:,温度,传导系数（导热系数）,密度,比热容,导温系数（热扩散系数）,时间,热流密度：单位时间通过单位面积的热流量,内热源强度,表面放热系数,3 热传导问题,1热传导基本方程,Tt时刻点(
6、x,y,z)处的温度；为导热系数， =/c导温系数或热扩散率； 密度，c比热容，H内热源强度（单位体积的产热量）。 热物性参数不随温度变化，且各向同性。,稳态时， ，有,若温度场内无内热源，即H=0,该式即为拉普拉斯方程(Laplace)。,初始条件 指某一时刻导热物体的温度分布。 对于稳定导热问题，温度场不随时间变化，时间条件自然消失。 温度随时间变化时，给出某一瞬时物体内部各点温度。 t=0时物体内部的温度分布规律通常为 T|t=0=T0(x,y,z),2导热问题的定解条件,边界条件 即物体边界上的换热条件。常分为三类：,第一类：已知物体边界的温度，即,Ts=T0(x,y,z,t),第二类
7、：已知物体边界上各点的热流密度，即,第三类：已知物体边界与周围介质的热交换，即,式中，n为边界外法线方向， 为外法向导数，h为表面放热系数，Ta为周围介质的温度。,当 时，即表示与外界无热交换，即绝热条件.,实际问题往往是上述三类边界条件的组合。,4 稳态传热问题的有限差分方程,对于多变量函数T=T( x, y)，涉及到求一阶和二阶偏导数的近似值。 若把y看作常数，则函数T对于x的偏导数就是T对x的普通导数。 同样，若把x看作常数，则函数T对于y的偏导数就是T对y的普通导数。 因此，可以直接应用前面介绍的所有导数的概念和公式。当然，在应用前面的公式对x求偏导时，必须保持y = y0。,首先只考
8、察内部节点。,图4所示是直角坐标系下一个三维导热区域中的网格点P及其六个相邻点，它们分别记为N，S，E，W，I，O。令网格间距x= y=z =。,1. 内节点差分方程,图4 在均匀网格的三维直角坐标中典型点P及其六个相邻点,式中，H内热源，为单位体积内热量产生的速率。,稳态基本方程为,P,I,O,E,W,N,S,上式可简化为(三维),利用式,可得近似式,一维导热的公式为,二维导热区域的公式为,二维稳态问题,差分方程为,若以Ti,j表示 (i, j)点温度，则,同样，一维稳态问题的差分方程为,(边界条件的差分形式),采用差商代替微商的办法把定解问题中的各种边界条件表示成差分形式 。,给定温度边界
9、,换热边界条件,用T对x的向前差商代替T对x的一阶微商，则,或写成,Ti,j = Ts,(Ti+1,jTi,j)/x=h(Ti,j Ta),(Bi+1)Ti,j Ti+1,j =Bi Ta,Bi= hx/ 毕欧数 ； h表面放热系数，导热系数，Ta是环境温度；Ti,j边界节点温度。,内部导热；边界换热、对流或定温,2. 边界节点差分方程,热流边界条件,（沿y方向流入体内时）,用T对y的向前差商代替微商，则,或写成,绝热边界,可以写成,(Ti,j+1Ti,j)/y = q,Ti,j Ti,j+1= qy/,Ti,j Ti-1,j=0 或 Ti,j Ti, j-1=0,或,每一个边界节点只应属于一
10、种边界条件。在两种边界条件交接的节点，可人为规定属于哪一种的边界条件。,对应边界的差分方程均采用一阶向前差商代替一阶微商得到，其截断误差为O(x)或O(y)量级，比内节点差分方程的截断误差低一个数量级。 为了提高整个差分格式的计算精度，可对上述边界条件作进一步处理，如用中心差商代替微商等。,注意：,5 非稳态的有限差分方程,非稳态或瞬变传热问题的特征是热流和温度场随时间而变，因此离散化包含两个方面： 空间域离散 几何区域离散化，确定内节点、边界节点 时间域离散 热过程经历的时间区域离散化。 在构造非稳态传热的差分方程时，必须特别注意它的稳定性，因为用不稳定的差分方程进行求解是没有意义的。此外，
11、在边界条件差分形式的处理上，也有新的特点需要考虑。,几何区域离散化。假定区域离散化后，距离步长x=xi+1-xi, y=yj+1-yj，且x=y。显然，xi=ix；yj=jy，i,j=0,1,2,。 时间域离散化。用n（n=0,1,2,）将时间区域t0离散化，两个时刻的间隔（时间步长）t=tn+1-tn，tn=nt。,1. 二维非稳态热传导方程,(1) 离散化,规定： (i, j )(xi, yj) ，ntn Tni,j n时刻节点（i,j）处的温度T(xi, yj, tn)。,显示差分格式 将导热微分方程应用于时刻n的节点（i, j），可写成,（n0）,（2）,式(2)等号两侧的偏微分用差商
12、来近似,(2) 差分格式,采用不同的差分公式，可建立不同形式的差分方程。,温度对时间一阶向前差商来近似,二阶偏微分用中心差商来近似,将三式代入式（2），得相应的差分方程为,该式即为微分方程的差分方程，截断误差为O(t+x2+y2)。,令x=y=， 代入式（6）并整理，得,F0傅立叶数，,（6）,tn+1时刻(i, j)节点的温度Ti,jn+1 ，可以根据自身及其相邻节点在tn时刻的温度来计算，而tn时刻的温度是已知的。因此，结合初始条件和边界条件，就可以计算区域内各节点随时间t增长的温度值Ti,jn。,显式格式的优点 每个节点方程均可独立求解，整个计算过程十分方便。 缺点 若F0值取的不当，计
13、算得到的解可能不稳定。因此，对时间步长的选取及网格的划分等要求比较严格。,若不考虑换热边界条件的影响，为保证稳定，必须要求,或写成,对于一维热流公式,等号右端用n+1时刻的一阶向后差商来近似，而等号左端温度对距离的二阶偏微商则对应tn+1时刻，故相应的差分方程为:,差分方程的截断误差也是O(t +x2 +y2) 。,完全隐式格式,将导热微分方程应用于时刻n+1的节点（i, j），可写成,上式包含邻点tn+1时刻的温度值。因此，从tn时刻的值不能简单地计算出（i, j）点tn+1时刻的温度，必须在每一个时间步长内求解一组联立方程才能求得Ti,jn+1（这组方程的数目等于待求温度的节点总数）。故称
14、这种差分格式为隐式差分格式。 隐式差分格式多种多样，式（12）的差分形式称为完全隐式差分格式。其优点是它不受边界条件、步长的影响，是无条件稳定的格式。,x=y=时，该式可简写为,（12）,对于一维热流公式为,将对应节点（i, j）的微分方程写成如下形式,式中，为加权系数，取值范围为01。,加权差分格式,加权差分格式为,简化为,当=0时，显式格式。 当=1时，完全隐式格式。 当=1/2时，C-N格式。 当=2/3时，加辽金格式。,从0到1变化时，可得到不同的差分格式。 对于给定的t和，随着的增长，计算精度下降，稳定性却越能得到保证。,隐式格式,对于二、三类边界条件，在边界外设立虚节点，使边界节点
15、变换为内节点： 用中心差商近似一阶微商； 边界节点取内节点差分方程。,2. 非稳态问题的边界条件,在开始进行计算的一瞬间（t=0），边界温度突然由T0变为Tw不大合理。因此，实际计算时，应作适当处理。,（1）给定温度Tw,第一步计算(t=0时) 边界节点温度为Tw/2； 完成第一步计算之后 固定温度边界节点保持Tw温度,为提高整个差分格式的计算精度，常用中心差商来代替边界上的一阶微商。为此，在边界外设虚假节点。,（2）给定换热边界条件,在具有边长为正方形网格的二维矩形区域中，有两类节点：一类是边上（如节点1），另一类在角上（如节点0）。,对于边节点1 在边界外与节点2对称的位置设以虚假节点2。
16、这样，换热边界条件中的偏微商可用中心差商近似。,节点1变为内节点，其显式差分方程为,将T2n表达式代入上式，消去T2n后，可得,上式即为边界节点1的差分方程，其截断误差为O(2)，与内节点差分方程的相一致。,或写成,用中心差商代替边界条件中的偏微商，得,(T2nT2n) /(2)=h(T1nTa),T2n + T2n + T4n + T0n(41/F0)T1n= T1n+1 / F0,T2n = T2n2Bi(T1nTa),T1n+1 = F0T0n + 2T2n + T4n + 2BiTa + (1/F042Bi)T1n ,同样可得换热边界条件的隐式差分格式：,T1n = F0-T0n+1 - 2T2n+1 - T4n+1 - 2BiTa + (1/F0+4+2Bi)T1n+1 ,
