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1、第八章 线性离散控制系统 版本2.0 2011年6月主编修改版,华南理工大学 自动化科学与工程学院,制作:罗家祥 审校:胥布工,第八章 线性离散控制系统,8.1 概述 8.2 信号采样与保持 8.3 离散系统的数学模型 8.4 离散控制系统的稳定性 8.5 离散控制系统的动态性能分析 8.6 离散控制系统的稳态误差分析 8.7 离散控制系统的最少拍校正 8.8 利用MATLAB辅助离散控制系统的分析与校正 8.9 小结,8.1 概述,本章知识体系：,离散控制系统的稳定性,离散控制系统,基本概念： 信号的采样与保持；离散控制系统的数学模型,离散控制系统的动态性能分析,离散控制系统的稳态误差分析,
2、最少拍校正； 利用MATLAB辅助离散控制系统的分析与校正,描述系统,分析系统,仿真分析、校正系统,8.1 概述,时间上不连续的信号在现实系统中大量存在。 例如许多化工生产过程无法在线连续测量产品的质量指标，而是通过定期采样化验，就能保证产品质量的稳定。 系统内有一处或多处的信号仅存在于孤立的时间序列点上，这类控制系统称为离散时间控制系统，简称离散控制系统。 与此相对，各处信号均为连续时间函数的控制系统称为连续时间控制系统，简称连续控制系统。,8.1 概述,时间上离散的信号，其幅值可能是连续的，亦可能是离散的。将时间上、幅值上都连续的模拟信号，转换成时间上离散、但幅值上仍然连续的离散模拟序列信
3、号的过程，而这一过程就称为采样，又称为波形的离散化过程，相应的控制系统则称为采样控制系统。 若由数字计算机实现控制，受计算机字长限制，还需要进一步将幅值连续的理想化序列信号量化为数字序列信号，进一步得到时间和幅值上都是离散的数字序列信号，相应的控制系统则称为数字控制系统。,8.1 概述,8.1.1 离散控制系统的基本概念,1. 采样控制系统,大惯性、大滞后控制系统出现的问题：采样系统较早出现于某些大惯性、大滞后对象的控制系统中，如炉温控制系统。这类对象的相位滞后非常明显，为保证系统的相位裕度，开环传递系数一般取很小值，难以有很高的稳定精度. 提高稳态精度的一个方法：在偏差信号和执行电机之间安装
4、一个开关，使其每隔较长时间才闭合一次，且闭合时间很短。当开关闭合时，系统根据偏差闭环控制电机，当开关断开时，电机停止，等待炉温变化。由于闭合时间短，开环放大系数可取较大值，有利于保持动态性能的同时提高稳态精度。,8.1 概述,在上述对连续对象实现离散控制的场合，采样是必不可少的环节。由连续信号获得相应的时间上离散的脉冲序列信号，需要采用一种类似开关的装置对连续信号进行采样，见图8-1中的采样开关S。 开关因开合将连续偏差信号e(t)采样为脉冲序列形式的信号e*(t)：e(t0)、e(t1)、e(t2)、.，故称系统为采样控制系统或脉冲控制系统。,2、 数字控制系统,数字控制系统的典型结构是由工
5、作于离散状态下的数字计算机（数字控制器）与工作于连续状态下的广义被控对象和传感器组成的，如图8-2所示。 采样开关每隔一段时间对连续信号进行采样，采样值经转换器量化编码后送给数字控制器，数字控制器根据由差分方程表述的预定算法得到数字形式的控制量交由转换器转换成脉冲序列信号去断续控制被控对象或经保持器去连续控制被控对象。在图8-2中，e(t)为时间和幅值上均连续的模拟信号，e*(t)表示时间上离散而幅值上连续的离散模拟信号， 而代表时间和幅值上均离散的数字序列信号。,8.1 概述,3. 离散控制系统,说明： 编、解码均为非线性过程，会引入量化误差，其中的转换和计算过程也需要一定时间，会引入额外的
6、延迟。 无论是采样控制还是数字控制系统均为离散控制系统，可采用统一的离散系统分析方法来进行研究。 在实际系统中，可能存在固定周期和不定周期等多种采样方式。本章仅讨论固定周期这种简单的采样方式。,8.1 概述,本章讨论的离散控制系统可统一由图8-3来描述。 系统工作原理：1) 对偏差信号e(t)进行采样获得偏差脉冲序列e*(t)(e(t0)、e(t1)、e(t2)、.)；2) 经控制器产生控制量脉冲序列u*(t) (u(t0)、u(t1)、u(t2)、.)直接作用于被控对象或者经保持器得到连续控制量uh(t)再作用于被控对象；3) 所得对象的输出y(t)被反馈到输入端与参考输入r(t)形成偏差信
7、号e(t)。 其中，e(t)和y(t)为连续信号，而uh(t)为连续或者分段连续信号，e*(t)和u*(t)为离散脉冲序列，系统内各部分的信号波形特征如图中所示。,8.1 概述,两点说明： 1）保持器将u*(t)转换为连续信号uh(t)，但其并非采样控制系统必须的组成部分; 2）若参考输入信号与反馈到输入端的测量信号通常已为脉冲序列r*(t)和y*(t)，两者相减直接获得偏差脉冲序列e*(t)。,8.1 概述,8.1.2 离散控制系统的分析与校正设计方法,研究线性定常离散控制系统的分析工具是线性定常差分方程、z变换（即脉冲序列的拉普拉斯变换）和脉冲传递函数。 线性离散控制系统的校正设计方法分为
8、仿真设计法和离散设计法两种。 仿真设计法：是先用线性连续系统的分析和综合方法设计校正环节，然后通过选择合适的采样周期将连续校正环节离散化来实现离散校正。 离散设计法：是完全采用离散系统的分析和综合方法来直接设计离散控制器。,8.2 信号采样与保持,8.2.1 信号采样,1. 采样信号的数学表示,1) 采样的形状多样： 对同一连续信号，采样方式和采样装置不同，所得的脉冲序列的形状（包括高度和宽度等）也不一样。,采样结果可能为幅值恒定而宽度正比于采样值大小的脉冲调宽序列，亦可能为幅值正比于采样值而宽度恒定的脉冲调幅序列，或者其他形式的脉冲序列。,8.2 信号采样与保持,2) 脉冲序列的数学表达当脉
9、冲宽度相对于采样周期足够小，可统一将其近似为宽度为零且冲量等于其面积的理想脉冲。数学上，采样信号f*(t)可用连续信号f(t)与周期为Ts的单位脉冲序列来 描述。,方便的计时起点为t0=0，且f(t)对于tmax时，|F(j)|0，,主分量F(j)/Ts与F(j)的幅频谱形状一致，幅值为F(j)的1/Ts倍，F(j)/Ts包含了全部信息。,8.2 信号采样与保持,各分量Fj(-ks), k=0, 1, 2,.，互不重叠； 将f*(t)中频率|max的部分滤除即可得到频谱与F(j)形状一致的信号，从而可不失真地复原信号; 若能构造一理想低通滤波器G(j)，使其在频段(s/2,s/2)内频率特性为
10、G(j)=Ts而其余频段内恒为0，则f*(t)经G(j)滤波后即为原信号f(t)，其中g(t)为滤波器的单位脉冲响应。,8.2 信号采样与保持,采样频谱的主分量与相邻的高频谐波分量以及各相邻的谐波分量之间将出现重叠，这种现象称为混叠。显然，此时仅通过低通滤波已无法复原信号。,香农定理（C.E.Shannon）: 若采样角频率s满足以下条件： 则原连续信号f(t)可从采样信号f*(t)中唯一确定。,说明: 对于实际控制系统而言，为保证控制系统的动态性能及抗干扰能力，采样周期的选择往往远大于2max，例如，可取为闭环系统带宽的20倍以上。当然，采样频率过大往往需要增大计算机和A/D及D/A转换器的
11、字长，提高其运算与转换速度，增加系统实现成本。,8.2 信号采样与保持,8.2.2 零阶保持器,1. 引入零阶保持器原因：理想的低通滤波器物理上不可实现，将离散信号f(t)转化为f(t)在工程上最常用、也最简单的方法就是采用零阶保持器。 2. 零阶保持器：将时刻kTs的采样值f(kTs)一直保持到下一采样时刻(k+1)Ts到来之前，以此方法重构连续信号。,低通滤波,8.2 信号采样与保持,频率特性：,8.2 信号采样与保持,3. 零阶保持器的特性：,（1）低通滤波特性 由于其幅值随频率的增大而迅速衰减，说明零阶保持器具有低通滤波特性。 但其高频段幅频特性不完全为零，因此会让部分高频分量通过，从
12、而造成其输出信号的频谱在高频段存在纹波.,8.2 信号采样与保持,（2）相角滞后特性 零阶保持器使采样信号f*(t)变成阶梯信号fh(t)。 fh(t)与连续信号f(t)相比，形状一致但在时间上平均落后Ts/2；即零阶保持器相当于滞后时间常数为Ts/2的延迟环节。 从相频特性可知，所引入的滞后角度随的增大而增大，在=s处，相角滞后为180； 因此，采样频率的选择不能过小，当小于20倍闭环系统带宽时，控制系统的分析和设计一般需要考虑零阶保持器的影响。,8.3 离散系统的数学模型,8.3.1 z变换,这种变换为z变换,对连续信号f(t)采样所得脉冲序列f*(t)作z变换,对离散信号f(k)所构成的
13、脉冲序列f*(t)作z变换,z变换本质上只能反映信号在采样时刻的值，而不能描述采样点间信号的状态，因此，不同的连续信号往往可能具有相同的z变换结果。,8.3 离散系统的数学模型,1z变换的求解方法,按定义直接计算其z变换表达式,例8-1 试求序列,解：按定义有,8.3 离散系统的数学模型,更多的详见277页表8-1内容。,8.3 离散系统的数学模型,2z变换的性质,根据z变换定义，可证明z变换性质，利用性质进行z变换。,1) 线性定理,2) 延迟定理,3) 超前定理,4) 复数位移定理,8.3 离散系统的数学模型,5) 初值定理,6) 终值定理,7) 卷积定理,8.3 离散系统的数学模型,例8
14、-2 已知f(t)的拉普拉斯变换为,试求相应的z变换F(z),查性质表,可得:,例8-3 设,试利用终值定理确定f(k)的终值。,解:,8.3 离散系统的数学模型,例8-4 试证明表8-2中的延迟定理和复位移定理。,证明：分别证明如下：,（1）利用t0时有f(t)=0的z变换条件，可证得,（2）由z变换可直接证得,8.3 离散系统的数学模型,8.3.2 z反变换,从F(z)求相应脉冲序列f(k)的过程称为z反变换，记为,常用的z反变换方法有部分分式法，长除法和留数法。,（1）部分分式法 步骤是先将F(z)展开成部分分式之和，再对其中的每个分式逐项查z反变换表（见表8-1）求解。,例8-5 设,
15、查表8-1序号6栏知：,8.3 离散系统的数学模型,（2）长除法 若F(z)为一有理分式，则可直接通过长除法，得到一个无穷项幂级数的展开式。根据z-k的系数便可以得出f(k)在各时刻的值。,例8-6 设,试用长除法求f(k).,f(0)=0,f(1)=1，f(2)=3，.。长除法以序列的形式给出各时刻的值，但不容易得出的解析表达形式。,8.3 离散系统的数学模型,（3）留数法,设函数F(z)zk-1除有限个极点z1,z2,.,zn,外，在z平面上是解析的，则有,其计算方法如下：,1）若zi，i=1,2,.n，均为单极点，则,2）若zi为m阶重极点，则,8.3 离散系统的数学模型,例8-7 考虑例8-6中的F(z)，试用留数法求f(k),8.3 离散系统的数学模型,8.3.3 差分方程,1连续系统的离散化,对于线性定常连续系统，可通过离散化方法得到系统的离散模型。,微分近似计算,8.3 离散系统的数学模型,一般来说，描述线性离散系统输入与输出关系的差分方程模型为,
