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1、1、 （2010苏州）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专题：换元法。分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为 t2t2=0用换元法转化为关于 t 的一元二次方程先求 t，再求 x解答：解：令=t，则原方程可化为 t2t2=0，解得，t1=2，t2=1，当 t=2 时，=2，解得 x1=1，当 t=1 时，=1，解得 x2= ，经检验，x1=1，x2= 是原方程的解点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易， 对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧2、 （2010嘉兴） （1）解不等式：3x2x+
2、4；（2）解方程：+=2考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。 分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设 y=，则原方程另一个分式为 可用换元法转化为关于 y 的分式方程先求 y，再求 x结果需检验解答：解：（1）3x2x+4，3xx4+22x6 x3；（2）设=y，则原方程化为 y+ =2整理得，y22y+1=0，解之得，y=1当 y=1 时，=1，此方程无解故原方程无解点评：（1）移项时注意符号的变化 （2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易， 对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧3、 （2
3、008苏州）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2然后整理原方程化成整式方程求解解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为 2y2+y6=0解得 y1=2，y2= 即：=2 或= 解得 x1=2，经检验，x1=2，是原方程的根点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一， 换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特 点4、 （2008上海）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专
4、题：计算题；换元法。分析：本题考查解分式方程的能力，观察分式因为与互为倒数，所以可根据方程特点选择换元法进行解方程，同时又可用常用方法：去分母方法进行解方程解答：解：方法一：设，则原方程化为，整理得 2y25y+2=0，y1= ，y2=2，当 y= 时，解得：x=2；当 y=2 时，解得：x=1经检验 x1=2，x2=1 是原方程的根；方法二：去分母得 2（x1）2+2x2=5x（x1） ，整理得 x2x2=0，解得 x1=2，x2=1，经检验 x1=2，x2=1 是原方程的根点评：解方程时要注意根据方程特点选择合适的方法，达到灵活技巧解题的效果5、 （2008乐山）解方程：x2=2x1考点：
5、换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专题：计算题；换元法。分析：运用换元法，设 y=x22x，降次求方程的解解答：解：设 y=x22x，则原方程变为：，即 y2+y12=0，得（y3） （y+4）=0，解得：y=3 或 y=4，当 y=3 时，x22x=3，（x3） （x+1）=0，解得 x1=3，x2=1，当 y=4 时，x22x=4，=120，此方程无解经检验，x1=3，x2=1 都是原方程的根点评：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根6、 （2007包头）解分式方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式
6、分解法。 专题：计算题；换元法。 分析：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化可设 y=把 y 代入原方程，转化为整式方程求解解答：解：设，原方程化为 y2 y+3=0，解得 y1=2，当 y=2 时，解得 x=1当时，解得 x=2经检验 x1=1，x2=2 都是原方程的根点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化本题应注意：最后需代入 y=求得 x 的值，再验根7、 （2006湛江）用换元法解方程：x2+3x=1考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专题：换元法。 分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，观察可得方程若直接去分母会很麻烦，涉及到的计算
7、量会很大，因此可设 x2+3x=y，将原方程变形整理为 y=1，即：y2+y20=0，求得 y 的值，然后再去解一元二次方程即可求得 x 的值解答：解：设 x2+3x=y，则原方程变形为 y=1，即 y2+y20=0，解得 y1=5，y2=4当 y=5 时，x2+3x=5，即 x2+3x+5=0，=32415=920=110，此方程无解；当 y=4 时，x2+3x=4，即 x2+3x4=0，解得 x1=4，x2=1经检验，x1=4，x2=1 都是原方程的解点评：解分式方程的关键就是把分式方程通过去分母或换元等方式转化为整式方程，因此 应根据方程特点选择合适的方法求解后要注意验根8、 （2006
8、盐城）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程能力，观察方程，根据其特点可设=y，可得= ，再进一步去分母整理化为整式方程即可求解解答：解：设：=y，则原方程为：2y2y1=0，解得：由得：x1=1，x2=1+由 y2=1 得：x2x1=0，此方程的解 x3=，x4=检验：都是方程的根 点评：用换元法可将分式方程化繁为简，化难为易，是解分式方程常用方法之一，要注意 总结能够熟练运用换元法解分式方程的特点 9、 （2006青海）阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你 阅读
9、完后再解答下面问题：老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x2x）28（x2x）+12=0学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？老师：这样，原方程可整理为 x42x37x2+8x+12=0，次数变成了 4 次，用现有的知识无法解答同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？学生乙：我发现方程中 x2x 是整体出现的，最好不要去括号！老师：很好如果我们把 x2x 看成一个整体，用 y 来表示，那么原方程就变成y28y+12=0全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程 y28y+12=0 的解是 y1=6，y2=2，就有 x2x=
10、6 或 x2x=2学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根 x1=3，x2=2，x3=2，x4=1，嗬，有这么多根啊 老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法在这里，使用它最大的妙处在于降低了 原方程的次数，这是一种很重要的转化方法 全体同学：OK！换元法真神奇！现在，请你用换元法解下列分式方程考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专题：阅读型。分析：换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设=y，换元后整理并求得 y 的值，再代入=y 中求 x 的值解答：解：设 y=，则原方程可变为 y25y6=0，解得 y1=6，y2=1，=6，=1，解得
11、x= 或 ，经检验，都是原方程的根原方程的解为 x= 或 点评：用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易， 对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧10、 （2006湖北）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力观察方程因为与互为倒数，所以可设=y，则原方程可变形整理为 y+ = ，再进一步解这个方程即可解答：解：设=y，则原方程可变形整理为：y+ = ，整理得：2y25y+2=0解得：y1=2，y2= 当=2 时，方程可整理为 2x2x+2=0，因为=b24ac=
12、150，所以方程无解当= 时，解得 x=1经检验 x=1 是原方程的根 原方程的根为 x=1 点评：本题若用常规方法，则较繁琐，灵活应用换元法，则可化繁为简，因此解分式方程 时，要根据方程特点选择合适的方法11、 （2006贺州）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专题：计算题；换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力，根据方程特点可设=y，则原方程可整理为 y2+3y=4，再去求解即可解答：解：设=y，则（）2=y2，原方程可整理为 y2+3y=4，解得：y1=4，y2=1，当 y1=4 时，=4，x=4x+4，解得：x= ，当 y2=1 时，=1，方程无解经
13、检验：x= 是原方程的解，方程的解为：x= 点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法要注意 总结能用换元法解的分式方程特点，做到能够根据方程特点选择合适的解方程方法12、 （2006哈尔滨）用换元法解方程：x+=2考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法。 专题：换元法。分析：本题考查用换元法解分式方程的能力因为 x+ =，且与互为倒数，所以可采用换元法解分式方程解答：解：由可设，则 y =2，整理得y22y3=0，解得 y1=3，y2=1当 y=3 时，=3，x23x+2=0，解得 x1=2，x2=1当 y=1 时，=1，x2+
14、x+2=0，=18=70，此方程没有实数根经检验：x1=2，x2=1 是原方程的根 原方程的根是 x1=2，x2=1 点评：用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法13、 （2006北京）用换元法解方程：x2x+1=考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专题：换元法。分析：本题要求运用换元法解题，可先对方程进行观察，可知方程左右两边都含有 x2x，如此只要将 x2x 看作一个整体，用 y 代替，再对方程进行化简得出 y 的值，最后用 x2x=y来解出 x 的值解答：解：设 x2x=y，则，原方程化为 y+1= ，y2+y6=0 即（y+3） （y2）=0
15、，解得 y1=3，y2=2当 y=3 时，x2x=3，x2x+3=0，=1120，此方程无实根；当 y=2 时，x2x=2，x2x2=0，解得 x1=1，x2=2经检验，x1=1，x2=2 都是原方程的根原方程的根是 x1=1，x2=2点评：本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配 方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法14、 （2005镇江）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。 专题：计算题；换元法。分析：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化可设=y，那么=y2，=5=5y，化为整式方程求解解答：解：原方程可化为：（）214=5（） ，设=y，则原方程可化为：y25y14=0，即（y7） （y+2）=0，y7=0 或 y+2=0，则 y1=7 或 y2=2当 y1=7 时，即=7，则 x1= ；当 y2=2 时，即=2，则 x2= 经检验，x1= ，x2= 都是原方程的解点评：当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化换元的对象是有倍数关 系的或者互为倒数的两个式子15、 （2005云南）用
