微分方程竞赛模型（传染病和人口发展模型）

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1、传染病模型,2,模型1(SI模型),模型:,3,4,模型2(SIS模型),模型:,5,令 s=l/m接触数(再生数), 一个传染期内每个病人有效接触的平均人数,6,9,03年:SARS传播预测的数学模型,题目的第二问是提供了北京市4月20日到6月12日已确诊的SARS累计病例数、现有的疑似SARS病例数、累计死亡人数和累计治愈出院人数，希望学生建立起自己的模型，以对北京等地SARS的感染情况进行研究，定量地描述，并分析控制措施对SARS传播的影响。特别是训练学生学习利用已给的数据确定模型中的参数，进行分析、计算和比较。,10,评阅要点:,1)学生答卷中应包含对传播机理和传播状况的叙述(如:传播

2、途径、传播方式、潜伏期和传播地区等)，并且给出建模原理、方法、思路或框图。 2)模型中的人口至少有3类:易感者、患者和恢复(与死亡)者，仔细一些的可以再加入潜伏者、隔离者、疑似病人、确诊病人，治愈者和留观者等，要弄清楚他们之间的关系。 3)模型还应包含对于传染率、治愈率和死亡率等重要概念的清晰表述。模型分析和计算中要给出上述参数的估计方法和估计值，还可包括平均治愈天数、隔离率和潜伏期等。,11,SARS建模和预测,大部分答卷都在叙述了SARS传播机理的基础上，作出类似于下面这些基本合理的假设: 单位时间内感染的人数与现有的感染者成比例; 单位时间内治愈人数与现有感染者成比例; 单位时间内死亡人

3、数与现有的感染者成比例; SARS患者治愈恢复后不再被感染; 各类人口的自然死亡可以忽略; 忽略迁移的影响。,12,这些比例系数可以是常数、时间的函数、时间和各类人口的函数、或分几段取常数。当然，还可以根据需要做其它假设。建立模型一般是将总人口分为易感者S(susceptible)、患者I(infective)、恢复者R(removed)，再仔细一些的还有潜伏者E, 隔离者Q(quarantinable)、疑似病人P(peradventure)和确诊病人J等类型。叙述或作出各类人口之间流动的示意图，并根据传染病建模的一般原理建立起如SIR, SEIR, SEQPIJR等类模型。这些模型基本思路

4、相同，差异在于人口分类的多少，关键在于参数的确定。例如最简单的SIR模型为,13,其中： S(t)是t时刻易感者的数量，它等于总人口减去患者和恢复者的数量; I(t)是t时刻患者的数量; R(t)是t时刻恢复者的数量; bS(t)是单位时间内每个患者感染的人数; g是患者的恢复率; d是患者的死亡率。,14,由于隔离等控制措施的不断加强和治疗情况的变化，b, g, d也是随时间而变化的; 另外，由于易感者的数量特别大，可以近似看作常数，且将常数合并到b中去。在实际应用中，我们最关心的是感染者数量的变化。取时间单位为天，将模型中的第2个方程离散化得递推关系为,在离散化的模型(2)中，b(t)的含

5、义是每天每个SARS感染者传染的人数，是一个十分重要的参数，其确定的原则是:当天新增SARS病人人数除以当天SARS感染者人数，再进行曲线拟合即可。g(t)和d(t)是SARS患者每天治愈和死亡所占的比例，可以一起确定，其方法是当天SARS感染治愈和死亡人数除以当天SARS感染人数，再进行曲线拟合即可。,15,例如，利用卫生部公布的4月20日至5月15日全国的数据进行计算，可以得到b(t)随时间变化的关系如图1中折线所示，用指数曲线b(t)=ae-bt对其进行回归拟合得到b(t)的表达式，其曲线如图1中的光滑曲线所示。同理得到d(t)+g(t)的表达式。将这些函数代人(2)进行递推计算得每天的

6、SARS感染者人数(见图2)。,16,摘要: 本文以2003年6月以前的有关数据为资料，在传统的SEIR传染病模型的基础上，对人群作了合理的分类，建立了控制前传播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法得到了各个参数。重点分析了控后模型，用龙格一库塔法求解了方程，并对北京、内蒙古、广东、香港四个SARS重点疫区的疫情作了具体的分析，最后评价了模型的合理性、实用性，提出了模型的改进方向和思路。,非典数学模型的建立与分析,17,1、问题的提出(略),2、数学模型的分析与建立,2.1 分析与假设,SARS爆发初期，政府和公众对其重视程度远远不够;当被感染者大幅度增加时，政府才开始

7、采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延。所以SARS的传播可以分为三个阶段:,a) 控制前，接近于自然传播时的传播模式。 b) 过渡期，在公众开始意识到SARS的严重性到政府采取得力措 施前的一段时间内。 c) 控制后，在介人人为因素之后的传播模式。,我们统一将所有地区的SARS传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来分析。,18,2.2 总体假设,1.假设一个SARS康复者不会二度感染，他们已退出传染体系，因此将其归为“退出者”。 2.不考虑这段时间内的自然出生率和死亡率, 由SARS引起的死亡人数，归为“退出者”。 3.假设潜伏期为一常数t=5天。 4.根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的

8、SARS病人不具有传染性。,19,2.3 控制前(包括控制力度不大的阶段)的传播模型的相关假设 1.直接接触。 2.在疾病传播期内所考察的地区的总人数N视为常数。 3.设每个病人单位时间有效接触的人数l1可视为常数。 4.流入和流出的人群中的带菌者处于潜伏期。 5.将人群分为四类: 健康者(易受感染者):用S表示健康者在人群中的比例。 处于潜伏期者:用E表示他们在人群中的比率。 病人(已受感染者):用I表示病人在人群中的比例。 退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”):用R表示退出者在人群中的比例。,20,控前模型的建立,参数设定,1) l1每个病人平均每天有效接触(足以使健康者感染)的人数。

9、2) q退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。 3) l(流入)流出人口占本地总人口的比率。 4) e1处于潜伏期的病人的日发病率。 5) p流入人口中带菌者所占的比例。,21,控前方程的建立,22,参数的确定,1) l1根据医学资料和有关数据推导而得。 2) q由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。 3) l由经济发达程度和交通状况决定。 4) e1根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。 5) p由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。,23,2.4 控制后的传播模型的相关假设 1.由于对人口流动加以了限制，假设此阶段无病源的输人和

10、输出 2.设每个病人单位时间有效接触的人数l2可视为常数。 3.在控制后阶段，因与非典传染源或疑似非典传染源接触而被隔离的人群视作健康者。 这部分人在隔离期限过去后又重新进行正常的社会活动，相当于又进人了传染链中，故可将他们作为健康者处理。 4.考虑到采集到的数据，将人群分为五类:,24,健康者(易受感染者):用S表示健康者在人群中的比例. 病人(已受感染者):用I表示病人在人群中的比例. 退出者(包括“被治愈者”和“死亡者”):用R表示退出者在人群中的比例. 自由带菌者:不可控的病毒携带者(未被发现的病人,有传染性)。用M来表示这部分人在人群中的比例. 疑似者:所有被疑似为非典病的非健康者。

11、包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者，未出现症状但已疑似带菌的被隔离者:用Y表示疑似者在人群中所占比例.,25,控后模型的建立,补充参数设定,1) y1疑似中每日被排除人数占疑似人数的比例; 2) y2疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例; 3) e每个自由带菌者转化为病人的日转化率; 4) l2每个自由带菌者发病后到被收治前平均每天感染的有效人数; 5) a被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率。,26,控后方程的建立,经分析得到如下的方程组(II),27,此模型的优点: (1)明确了疑似者所指的范围; (2)可从现有数据中分析出所需的参数和变量初值; (3)将l2定义为“有效接触人数”

12、既有利于数据的分析也可减少未知参数的数量。,参数的确定(以北京为例来说明参数分析方法),a) y1疑似者的日排除比例,28,b) y2疑似转化为病例的日转化比:,c) q的计算公式,d) e从数据可推算出其值在12% -30%之间，经过分析取e=20 %,e) a与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员流动控制得相当严格，还采取了诸如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们可估计a=70% 90%,29,4)模型的求解:,无解析解，可由Matlab求数值解。,30,考虑自愈的SARS的传播模型,该文根据对SARS传播的分析，把人群分为5类:易感类、潜

13、伏期类、患病未被发现类、患病已被发现类和治愈及死亡组成的免疫类，并考虑自愈因素，提出了两个模型:微分方程模型和基于Small-World Network的模拟模型。对微分方程模型，以香港为例讨论了自愈的影响，在一定意义下说明自愈现象在SARS传播中是普遍存在的。,31,1 基本假设与符号,1.1 基本假设 (2) 假设人们被感染后需先进入潜伏期，在潜伏期内不具备传染性; (3) 假设SARS患者被发现后就立即被隔离，被隔离者不具备传染性，SARS患者只在被发现前可以传染他人; (4) 假设SARS康复者不会被再次感染，并且不具备传染性; (5)不考虑在SARS传播期间人口的自然出生和自然死亡;

14、 (6)所研究地区的人口总量一定，不考虑该段时间内人口的迁入迁出;,32,1.2 符号说明 N我们所研究区域的人口总数; S易感类，该类成员没有染上SARS，也没有免疫能力，可以被传染上SARS; E潜伏期类，该类成员已经感染了SARS病毒，但尚处于潜伏期，还不是SARS患者，不能把病毒传染给S类成员; Iu患病未被发现类，该类成员已经成为真正的SARS患者，能够把病毒传染给S类成员; Ii患病已被发现类，该类成员虽然是SARS患者，但由于发现后立即被严格隔离，不能传染给S类成员;,33,2 微分方程模型 2.1 模型建立 我们把一个封闭区域内的人群完备的分成5类: S类、E类、Iu类、Ii类

15、和R类，设第t天时五类成员的人数分别为S(t), E(t), Iu(t), Ii( t ), R ( t)，该地区总人口为N。考虑自愈因素，则各类成员之间的流动情况如下图所示:,R免疫类，该类成员为SARS康复者或因患SARS死亡，已经具有免疫力，不再对其它成员产生任何影响; H潜伏期天数; L传染期天数;,34,35,其中: s是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数;,g是SARS感染者的日发病率，m是SARS感染者的日自愈率;,z是患病人群每天被隔离的比率，c是免疫率;,借鉴以往微分方程建立传染病模型的思想，我们得到如下的关于SARS传播的SEIuIiR微分方程模型:,36,2.2 模

16、型求解及结果分析,2 .2 .1 参数意义及确定,(1) s是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数,易知s=lq. 其中，l为一天内一个患病者与他人的接触率，q为一个易感者接触一个患病者后被感染的概率,(2) g是SARS感染者的日发病率，m是SARS感染者的日自愈率.,假定每个SARS感染者的实际潜伏期天数服从区间1,H上的均匀分布。也就是说，SARS感染者以均等的概率在这H天之中的任何一天发病或者自愈。(H为潜伏期天数上限)容易得到:,37,(4)c是免疫率，也就是患病人群每天病死率和治愈率之和。,可以根据实际数据得到。(由每天数据计算出当天c值，其平均值即为所求),(3) z是患病人群每天被隔离的比率，反映了社会的警觉程度及政府措施的力度。,2.2.2 模型求解及结果分析,人口增长模型,39,为简单起见只考虑自然的出生与死亡，不计迁移 等社会因素的影响。,1、基本符号：,