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1、参数方程,一般方程,一般方程,对称式方程,参数方程,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,在点,有：,向量方程,空间曲线：,空间直线:,复习平面:,一般方程,点向式方程,第六节 多元函数微分学的几何应用,一 、空间曲线的切线与法平面,切线的切向量及法平面的法向量均为,1、空间曲线为参数方程情形,2、空间曲线为一般方程情形,曲线上一点,处的切向量为,求切线,法平面,求切线,法平面,【解】,切线方程,法平面方程,P94例4.,例5. 求曲线,M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,解: 方程组两边对 x 求导, 得,曲线在 M(1,2, 1) 处切向量:,
2、解得,切线方程,法平面方程,二、曲面的切平面与法线,曲面 在点 M 的法向量:,光滑曲面,1、空间曲面为隐式方程情形,求切平面,法线,法向量,2、曲面的方程为显式,光滑曲面,或,【解】,令,切平面方程,法线方程,【分析】为隐式情形,【解1】,切平面方程为,法线方程为,【分析】为显式情形,【解2】先化为隐式,【解】,设 为曲面上的切点,切平面法向量为,因切平面平行于已知平面，得,所求切点为,又切点满足曲面方程，代入得,切平面方程：,切平面法向量为,计算公式:,沿方向 l 的方向导数：,定义:,三元函数,第七节,方向导数与梯度,练习2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数
3、.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习3. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,方向导数公式,令向量,方向导数最大值：,梯度定义：,一点处的方向导数有很多：,方向导数最大值时 的方向为：,P103,思考与练习,(1),求函数 在点 M (1,1,1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,方向导数取最大值的方向,=(2,1,0 ),说明: （1）使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,定理1
4、(必要条件),函数,数,且在该点取得极值 ,则有,存在偏导,第八节 多元函数的极值及其求法,回顾：一元函数极值必要条件,驻点x0,可能极值点,f (x0) = 0,不可导点,一、,时, 具有极值,则: 1) 当,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,回顾：一元函数极值充分条件,第一充分条件：,第二充分条件：驻点x0处,极值定义,课本例4,二、,当区域内部最值存在, 且内部只有一个驻点P 时,唯一驻点即为最值点。,求边界点的最大值点及驻点及不可导点的函数值,比较大小,多元函数最值求法：,课本例5，6,1.构造拉格朗日函数,2.构造方程组:,条件极值：拉格朗日乘数法,例如：,3.解此方程组可得到条件极值的可能极值点（驻点） .,三、,四、,课本例7，8,【解】,则,练习2：,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,得唯一驻点,即最值点,
