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1、1 平面向量与三角形平面向量与三角形“四心四心”的应用问题的应用问题 三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中 所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。本 文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考 1 课本原题课本原题 例例、已知向量满足条件，求证： 123 ,OP OP OP uuu r uuu r uuu r 123 0OPOPOP uuu ruuu ruuu rr 123 | | | 1OPOPOP uuu ruuu ruuu r 是正三角形 123 PP P 分析分析 对于本题中的条件，容
2、易想到，点是的外心，而 123 | | | 1OPOPOP uuu ruuu ruuu r O 123 PP P 另一个条件表明，点是的重心 123 0OPOPOP uuu ruuu ruuu rr O 123 PP P 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角 形在 1951 年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三 角形为何种三角形？与本题实质是相同的 显然，本题中的条件可改为 123 | | | 1OPOPOP uuu ruuu ruuu r 123 | | |OPOPOP uuu ruuu ruuu r 2 高考原题高考原
3、题 例例、O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 则 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） ()0,). | ABAC OPOA ABAC uuu ruuu r uuu ruu u r uuu ruuu r A外心B内心C重心D垂心 分析分析 已知等式即，设，显然都是() | ABAC AP ABAC uuu ruuu r uuu r uuu ruuu r, | ABAC AEAF ABAC uuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r,AE AF uuu r uuu r 单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为的平分线，AP
4、ABC 选B 例例、的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为ABC H，则实数 m = ()OHm OAOBOC uuu ruu u ruuu ruuu r 分析分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要 2 的一点是缺乏几何直观解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，0AH BC uuu r uuu r g 向已知等式形式靠拢，有，将已知代入，有() ()0OHOAOCOB uuu ruu u ruuu ruuu r g ，即，由是外心， () ()0m OAOBOCOAOCOB uu u ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu r g
5、 22 ()(1)0m OCOBmOA BC uuu ruuu ruu u r uuu r gO 得，由于是任意三角形，则不恒为，故只有恒成立(1)0mOA BC uu u r uuu r gABCOA BC uu u r uuu r g1m 或者，过点作与，则是的中点，有；是垂心，OOMBCMMBC 1 () 2 OMOBOC uuuu ruuu ruuu r H 则，故与共线，设，则，AHBCAH uuu r OM uuuu r AHkOM uuu ruuuu r () 2 k OHOAAHOAOBOC uuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu r 又，故可得，有()O
6、Hm OAOBOC uuu ruu u ruuu ruuu r (1)()()0 22 kk mOAmOBmOC uu u ruuu ruuu r ，得10 2 k mm 1m 根据已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心()OHm OAOBOC uuu ruu u ruuu ruuu r OAOBOC uu u ruuu ruuu r 坐标公式，设三角形的重心为，是平面内任一点，GO 均有，由题意，题目显然叙述的是一 3 OAOBOC OG uu u ruuu ruuu r uuu r 个一般的结论，先作图使问题直观化，如图，由图上 观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的2HGGO 诱因，
7、其一是，均与三角形的边垂直，则,BF OTAC ；其二，点是三角形的中线的三等分/BFOTGBT 点此时，会先猜想，但现在缺少一个BHGTOG 关键的条件，即，这样由两个三角形的两边长2BHOT 对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似当然，在 考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明 本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设 O、G、H 分别是ABC 的外心、重心和垂心， 则 O、G、H 三点共线，且 OGGH12，利用向量表示就是3OHOG uuu ruuu r 例例、点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足，则点 OOA OBOB OCOC OA uu u r uuu ruu
8、u r uuu ruuu r uu u r ggg 是的（ ） ABC A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点 C三条中线的交点D三条高的交点 G H B C A F T ED O 图 3 分析分析 移项后不难得出， ，点 O 是的垂心，0OB CAOC ABOA CB uuu r uu u ruuu r uuu ruu u r uu u rr gggABC 选D 3 推广应用题推广应用题 例例 在内求一点，使最ABCP 222 APBPCP 小 分析分析 如图，构造向量解决取为基向量，设，有,CAa CBb uu u rr uu u rr CPx uu u rr ,APxa B
9、Pxb uuu rrr uu u rrr 于是， 22 2222222 11 ()()3()() 33 APBPCPxaxbxxababab rrrrrrrrrrrr 当时，最小，此时，即，则点为 1 () 3 xab rrr 222 APBPCP 1 () 3 OPOAOBOC uuu ruu u ruuu ruuu r P 的重心ABC 例例 已知为所在平面内一点，满足OABC ，则为的 心 222222 |OABCOBCAOCAB uu u ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu r OABC 分析分析 将，也类似展开代入，已 22 22 |()2BCOCOBOCOBOC O
10、B uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r g 22 | ,|CAAB uu u ruuu r 知等式与例的条件一样也可移项后，分解因式合并化简，为垂心O 例例 已知为的外心，求证：OABCsinsinsin0OABOCOBAOCOCAOB uu u ruuu ruuu rr 分析分析 构造坐标系证明如图，以为坐标A 原点，在轴的正半轴，在轴的上方BxCx ，直线的方程是 20 1 2 AOB Sx y BC ，由于点与点必在直 32323 ()0y xxxyx yAO 线的同侧，且，因此有BC 23 0x y ，得 03302023 0x yx yx yx
11、y 30230320 1 () 2 BOC Sx yx yx yx y 直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且AC 33 0y xx y(1,0)OAC C P 图 A B y A 00 (,)O xy x 22 (,)B xy 图 33 (,)C xy 4 ，因此有，得 33 100yx 0330 0x yx y 0330 1 () 2 AOC Sx yx y 于是，容易验证，又0 BOCAOCAOB OA SOBSOCS uu u ruuu ruuu rr ， 1 |sin 2 BOC SOB OCBOC uuu ruuu r ，又，则所证成 1 |sin 2 BOA SOB OAAOB uuu ruu u r 1 |sin 2 AOC SOA OCAOC uu u ruuu r | | |OAOBOC uu u ruuu ruuu r 立
