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1、南京工业大学土木学院,1,第七章 椭球面上的测量计算,7.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 7.1.1 地球椭球的基本几何参数 子午圈(线,面,椭圆) 平行圈(纬圈) 赤道,南京工业大学土木学院,2,决定旋转椭球的性状和大小的五个基本几何参数(或称元素)椭圆的长半径:椭圆的短半径:椭圆的扁率:椭圆的第一偏心率:椭圆的第二偏心率:椭球的焦距,南京工业大学土木学院,3,为简化书写，常引入以下符号：此外，还有两个常用的辅助函数：,南京工业大学土木学院,4,7.1.2 地球椭球参数的相互关系,南京工业大学土木学院,5,7.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 7.2.1 各种坐标系的建立 1.大
2、地坐标系大地经度B大地纬度L大地高H,南京工业大学土木学院,6,2.空间直角坐标系 当坐标原点位在总地 球椭球(或参考椭球) 质心时，此时称为地 心(或参心)空间直角 坐标系，Z轴与地球平 均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均 北极点;X轴指向平均自转轴与平均格林尼治 天文台所决定的子午面与赤道面的交点Ge,而 Y轴与此平面垂直，且指向东为正。,南京工业大学土木学院,7,3.子午面直角坐标系 设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为 原点，建立x,y平面 直角坐标系。在该坐标系中，P点 的位置用L,x,y表示。,南京工业大学土木学院,8,4.天文坐标系天文坐标系是以铅垂线
3、为依据建立起来 的。在这个坐标系中，一点的坐标用天文经 度及天文纬度表示。所谓天文纬度是P 点的铅垂线与地球赤道面形成的锐角，天文 经度是天文起始子午面同过P点的天文子午 面之间形成的二面角，此时的天文子午面系 指过P点的铅垂线和地球旋转轴组成的平面。,南京工业大学土木学院,9,5.地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上P点的大地经度L，在此子午面 上以椭圆中心O为原点建立地心纬度坐标系; 以椭球长半径a为半径作辅助圆，延长 与辅助圆相交点，则OP与x轴夹角称为P 点的归化纬度u。,南京工业大学土木学院,10,6.站心地平坐标系大地站心地平坐标系是以测站法线和子午 线方向为依据的坐标系，点
4、的坐标可用 (x,y,z)或(S,A,Z)表示。天文站心地平坐标系由垂线，真地平面及 天文子午面所决定。,南京工业大学土木学院,11,7.2.2 各种坐标系间的关系 1.子午平面坐标系同大地坐标系的关系,南京工业大学土木学院,12,南京工业大学土木学院,13,子午平面直角坐标系同归化纬度坐标系的关系由图可知:,南京工业大学土木学院,14,子午平面直角坐标系同地心纬度坐标系的关系 由图可知:而:,南京工业大学土木学院,15,2.空间直角坐标系同子午平面直角坐标系的关系,南京工业大学土木学院,16,3.空间直角坐标系同大地坐标系的关系 图中:,南京工业大学土木学院,17,南京工业大学土木学院,18
5、,则:,南京工业大学土木学院,19,当已知P点的空间直角坐标计算相应的大 地坐标时,对大地经度L有大地纬度B的计算比较复杂,通常采用迭代法:或:,南京工业大学土木学院,20,迭代时可取: 用 的初值计算 和 ,按 进行第二次迭代,直到最后两次 值之差小于允许 误差为止。当已知大地纬度 时，按下式计算大地高 或,南京工业大学土木学院,21,4.空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系,南京工业大学土木学院,22,5.大地纬度 ，归化纬度 ，地心纬度 之间的 关系 和 之间的关系,南京工业大学土木学院,23,和 之间的关系和 之间的关系 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45
6、时,南京工业大学土木学院,24,7.3 椭球面上的几种曲率半径过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球 面的法线，包含这条法线的平面叫作法截 面，法截面与椭球面的交线叫法截线。包含椭球面一点的法截可作无数多个法截 面相应有无数多个法截线。椭球面上法截线 曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等 于圆球的半径,而是不同方向的法截线曲率半 径都不相同。因此本节首先研究子午线及卯酉 线的曲率半径，在此基础上再研究平均曲率半 径及任意方向的曲率半径。,南京工业大学土木学院,25,7.3.1 子午曲率半径,南京工业大学土木学院,26,南京工业大学土木学院,27,南京工业大学土木学院,28,7.3.2 卯酉曲
7、率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截 面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面 同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。 图中PEE即为过 P点的卯酉圈。卯酉圈 曲率半径用N表示。,南京工业大学土木学院,29,麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截 弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上 这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该 点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以 两截弧平面夹角的余弦。 即： 而：所以： 也可以写成：由图可看出：,南京工业大学土木学院,30,卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。,南京工业大学土木学院,31,主曲率半
8、径的计算以上讨论的子午圈曲率半径M及卯酉圈曲 率半径N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半 径，这在微分几何中统称为主曲率半径。,南京工业大学土木学院,32,南京工业大学土木学院,33,将克拉索夫斯基椭球元素值代入得各系数,南京工业大学土木学院,34,将1975年国际椭球元素值代入得各系数,南京工业大学土木学院,35,也可以写成：,南京工业大学土木学院,36,则式中：,南京工业大学土木学院,37,将克拉索夫斯基椭球元素值代入得各系数,南京工业大学土木学院,38,将1975年国际椭球元素值代入得各系数,南京工业大学土木学院,39,7.3.3 任意法截弧的曲率半径,南京工业大学土木学院,40,不仅与点
9、的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位角A有关。当时，变为计算子午圈曲率半径的，即；当90时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径M及N分别是的极小值和极大值。,南京工业大学土木学院,41,当A由090时，之值由，当A由90180时，值由N，可见值的变化是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。 7.3.4 平均曲率半径或椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该 点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率半径N的几 何平均值。,南京工业大学土木学院,42,7.3.5 M，N，R的关系,南京工业大学土木学院,43,对于克拉索夫斯基椭球,南京工业大学土木学院,44,7.4 椭球面上的弧长计算 7.4.1 子午线弧
10、长计算公式,南京工业大学土木学院,45,南京工业大学土木学院,46,南京工业大学土木学院,47,克拉索夫斯基椭球子午弧长计算公式 1975年国际椭球子午弧长计算公式,南京工业大学土木学院,48,如果以B90代入，则得子午椭圆在一个 象限内的弧长约为10 002 137m。旋转椭球的 子午圈的整个弧长约为40 008 549.995m。即 一象限子午线弧长约为10 000km，地球周长 约为40 000km。 为求子午线上两个纬度B及间的弧 长，只需按式分别算出相应的X及X，而 后取差：，该 即为所求的弧长。,南京工业大学土木学院,49,当弧长甚短(例如X40km，计算精度到 0.001m)，可
11、视子午弧为圆弧，而圆的半径为 该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径M,南京工业大学土木学院,50,由子午弧长求大地纬度迭代解法:,南京工业大学土木学院,51,7.4.2 平行圈弧长公式,南京工业大学土木学院,52,子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,南京工业大学土木学院,53,7.5 将地面观测值归算至椭球面观测的基准线不是各点相应的椭球面的法 线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存 在着垂线偏差。 归算的两条基本要求： 以椭球面的法线为基准； 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。,南京工业大学土木学院,54,7.5.1 将地面观测的水平方向归算至椭球面将水平方向归算至椭球面上，包括垂线
12、偏 差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上 称此三项改正为三差改正。(1)垂线偏差改正,南京工业大学土木学院,55,以测站A为中心 作出单位半径的 辅助球,u是垂线 偏差，它在子午 圈和卯酉圈上的 分量分别以，表示，M是地面观测目标m在球面上的投影。 垂线偏差对水平方向的影响是(R-R),南京工业大学土木学院,56,(2)标高差改正,南京工业大学土木学院,57,(3)截面差改正,南京工业大学土木学院,58,7.5.1 将地面观测的长度归算至椭球面 1.基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正 后，可以认为它是基线平均高程面上的长 度，以表示，现要把它归算至参考椭球面 上的大地线长度S。 (1).垂线偏差对长度归算的影响,南京工业大学土木学院,59,2.高程对长度归算的影响,南京工业大学土木学院,60,7.5.2 电磁波测距的归算,南京工业大学土木学院,61,
