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1、,第三章 力偶系,静力学,1 力对点之矩矢 2 力对轴之矩 3 力偶矩矢、等效条件与性质 4 力偶系的合成与平衡条件, 3 力偶系,静力学, 3 力偶,由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶。如图所示，记作（F，F）。力偶的两力之间的垂直距离d 称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。,静力学, 3-1 力对点之矩矢,一、 平面中力对点之矩,移动效应-取决于力的大小、方向； 转动效应-取决于力矩的大小、方向。,力对物体可以产生,力F对刚体产生的绕平面上O点的转动效应取决于：,转动效应的强度：Fh；转动的方向：顺时针或逆时针。,定义: 为力对点之矩。,即：力使刚体绕矩心逆
2、时针转动时为正，顺时针转动时为负。,规 定 ：,其中：,O 为参考系中的某一点，称为矩心。,h 为矩心至力F作用线的垂直距离，称为力臂。,静力学, 3-1 力对点之矩矢,静力学, 3-1 力对点之矩矢,一、 平面中力对点之矩,平面中力对点之矩是一个代数量。,力矩在下列两种情况下等于零：（1）力的大小等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。力矩的单位常用Nm或kNm。,静力学, 3-1 力对点之矩矢,一、 平面中力对点之矩,(3) 作用面：力矩作用面。,(2) 方向:转动方向；,(1）大小:力F与力臂的乘积；,在空间问题中，力对刚体产生的绕O点的转动效应取决于三个要素：,力对点之矩矢，是
3、一个过矩心O的定位矢量，是力对刚体转动效应的度量。,静力学, 3-1 力对点之矩矢,二、 力对点之矩矢,1、力对点之矩矢的概念,2、力对点之矩矢的矢量积表示式,静力学, 3-1 力对点之矩矢,二、 力对点之矩矢,即 MO(F) = rF,静力学, 3-1 力对点之矩矢,二、 力对点之矩矢,按右手定则,静力学, 3-1 力对点之矩矢, 力对点之矩几点结论, 力对点 之矩矢为一个定位矢量; 矢量的模, 矢量方向由右手定则确定; 矢量作用在O点,垂直于r 和F所在的平面。,M O ( F ) =F d,F,MO,静力学, 3-1 力对点之矩矢,在直角坐标系Oxyz中 r = xi + yj + zk
4、 F = Fxi +Fyj +Fzk,则,3、力对点之矩矢的解析表示式,F,r,静力学,二、 力对点之矩矢,若力F 作用在Oxy 平面内，即Fz0，z0,MO(F) = rF = (Fxy Fyx)k,力F 对O点之矩总是沿着z轴方向，可用代数量来表示,MO(F) = Mz(F) = Fh = 2OAB,在平面问题中，力对点之矩为代数量，一般规定逆时针为正，顺时针为负。,则,静力学,二、 力对点之矩矢,静力学, 3-1 力对点之矩矢,三、 力对点之矩矢的基本性质,作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转动效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于二力分别对该点矩矢的矢量和，即：,也就是
5、说：力对点之矩服从矢量的合成法则。即在一般情况下：,对于平面力系，则有：,合力矩定理：合力对任一点之矩等于诸分力对同一点之矩的矢量和。即：,对于平面力系，则有：,静力学, 3-1 力对点之矩矢,四、 合力矩定理,汇交力系的合力矩定理,即,平面汇交力系,静力学, 3-1 力对点之矩矢,四、 合力矩定理,例题3-1：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作用，求均布载荷的合力及其作用线位置。,解：这是一个平面力系。,根据合力投影定理，则合力的大小为：,再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。 假设合力Q的作用线距离A点的距离为xC 。,静力学,思考：这两个力系的合力及作用线位置。,静力学,例2-4,求:
6、,解:,按合力矩定理,已知:,F=1400N,直接按定义,静力学,例2-5,求：,解：,由合力矩定理,得,已知：q,l；,合力及合力作用线位置。,取微元如图,静力学,例 已知：如图 F、Q、l, 求： 和,静力学,解：用力对点的矩法应用合力矩定理,抗倾覆验算,倾覆：就是结构或构件在受到不平衡力矩作用时发生倾翻现象。,倾覆力矩（Mq）：使结构或构件产生倾覆的力矩。,抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆的力矩。,K=抗倾覆安全系数,规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数K1.5,静力学,带有雨蓬的钢筋混凝土门顶过梁，尺寸如图示，梁和板的长度均为4m。设在此梁上的砖砌至3m高时，便欲将雨篷下的木支撑
7、拆除。试验算此时雨蓬会不会绕A点倾覆。已知钢筋混凝土容重为25kNm3 ，砖砌体容重为19kN/m3 ，验算时应考虑雨蓬最外边缘B上作用有施工荷载F=1kN。,W1,F,W2,W3,静力学,塔吊及所受荷载如图。自重P=200kN，中心通过塔基中心。起重量W=25kN，距右轨B为15m.平衡物重Q，距左轨A为6m，在不考虑风荷载时， 求： （1）满载时，为了保证塔身不至于倾覆，Q至少应多大？ （2）空载时，Q又应该不超过多大，才不至于使塔身向另一侧倾覆？,静力学,如图示，一钢筋混凝土梁BC置于砖墙上，挑出1.5m，顶端C作用一集中力P=1kN，梁自重q=1.2kN/m，取抗倾覆安全系数=1.5，
8、试求BA段的长度a。,静力学,力对轴的力矩：是力使物体绕该轴转动效果的度量。,可见，力对轴的力矩，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。,图示表明力F 对固定轴 z 的矩，可由F 分解为平行于z 轴的力 Fz 和垂直于z轴的力Fxy 分别对z轴的力矩和。 Fz 对轴不产生力矩作用。,静力学, 3-2 力对轴之矩,一、 力对轴之矩的概念,2018年9月28日星期五,27,力对任一z轴的矩，等于这力在z轴的垂直面上的投影F 对该投影面和z轴交点的矩。,静力学, 3-2 力对轴之矩,2018年9月28日星期五,28,正负号如下规定：从z 轴正端来看
9、，该力的投影使得物体绕该轴按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。可以按右手螺旋法则来判定。,静力学, 3-2 力对轴之矩,一、 力对轴之矩的概念,2018年9月28日星期五,29,静力学, 3-2 力对轴之矩,二、 力对坐标轴之矩,静力学, 3-2 力对轴之矩,三、 力对点之矩与力对轴之矩的关系,力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影，等于力对该轴之矩,力对任意 l 轴（方向 l）之矩为,A为 l 轴上任意一点,定义,特点,力对轴之矩为一代数量, 单位： Nm, kN m ；,代数量的符号由右手螺旋法则定出；,当力与某轴共面时，力对该轴之矩为0。（力和轴平行或力的作用线通过矩轴）,静力学, 3-
10、2 力对轴之矩,2018年9月28日星期五,32,F,特殊情形,静力学, 3-2 力对轴之矩,三、 力对点之矩与力对轴之矩的关系,2018年9月28日星期五,33,结 论 : 当轴垂直于r 和F 所在的平面时,力对点之矩与力对轴之矩在数值上相等。,静力学, 3-2 力对轴之矩,三、 力对点之矩与力对轴之矩的关系,2018年9月28日星期五,34,静力学, 3-2 力对轴之矩,四、 力对点之矩与力对轴之矩的关系,合力矩定理：,若,则,合力对轴之矩定理：,若,则,例3-1 求力 F 对三坐标轴的矩。 已知A、B两点位置如图，单位 为cm；F=30N。,解：,静力学,例 题 1, 例题,手柄ABCE
11、在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力 对x，y和z三轴的矩。,静力学,应用合力矩定理求解。,力F 沿坐标轴的投影分别为：,由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有,例 题 1, 例题,静力学,应用力对轴的矩之解析表达式求解。,因为力在坐标轴上的投影分别为：,力作用点D 的坐标为：,则,方法2,例 题 1, 例题,例 题 2, 例题,静力学,由图示可以求出力F 在各坐标轴上的投影和力F 作用点C 的坐标分别为：,解：,x= b = 4 m y= a = 6
12、m z= c =3 m,例 题 2, 例题,静力学,例 题 2, 例题,静力学,例 题 2, 例题,静力学,2018年9月28日星期五,43,力偶,力偶三要素 力偶矩大小； 力偶在作用面的转向； 力偶作用面的方位；,静力学, 3-3 力偶矩矢,2018年9月28日星期五,44,力偶系:由两个或 两个以上力偶组成 的特殊力系,静力学, 3-3 力偶矩矢,根据力对点之矩，力偶对O 之矩为：,M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。,刚体上有一对力偶 ,将它们对O 点取矩,静力学, 3-3 力偶矩矢,一、 力偶矩矢的概念,A、B两点的矢径，用rA、rB表示， rBA = rA rB。,MO(F
13、,F ) = MO (F) + MO (F ) = rAF + rBF = (rA rB)F = rBAF, MO (F, F)=M,(F, F),静力学, 3-3 力偶矩矢,一、 力偶矩矢的概念,选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：,是力偶矩矢在三个坐标轴上的投影。,静力学, 3-3 力偶矩矢,二、 力偶矩矢的解析表示式,2018年9月28日星期五,48,（1）力偶矩矢量M与矩心的选择无关，因而是一个自由矢量； （2）决定力偶矩矢的三要素为：力偶矩的大小、力偶作用面的方位及力偶的转向； （3）因为力偶矩矢是自由矢量，在保持这一矢量的大小和方向不变的条件下，可以在空间任意移动力偶矩矢量而不改
14、变力偶对刚体的作用效果，称为力偶的等效性。,力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。,（1）力偶中的两力矢量和恒为0。,（2）力偶中的两力对空间任意点之矩的矢量和恒相等且不为0，称为力偶矩 。,2018年9月28日星期五,49,特例：力偶矩在平面问题中视为代数量，记为M，,M = Fd,正负号分别由力偶的转向决定。逆时针为正，顺时针为负。,平面力偶对任一点的力矩：,静力学, 3-3 力偶矩矢,二、 力偶矩矢的解析表示式,2018年9月28日星期五,50,静力学,作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。,证,设物体的某一平面 上作用一力偶(F,F),现沿
15、力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q),Q,F合成R，,再将Q,F合成R，,得到新力偶(R,R), 3-4 力偶的等效条件和性质,一、 力偶的等效条件,2018年9月28日星期五,51,静力学,将R,R移到A,B点，则(R,R)，取,代了原力偶(F，F )并与原力偶等效。,比较(F,F)和(R,R)可得,m(F,F)=2ABD=m(R,R)=2 ABC, 3-4 力偶的等效条件和性质,一、 力偶的等效条件,两个力偶的等效条件 ：它们的力偶矩矢相等。,2018年9月28日星期五,52,1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。,静力学, 3-4 力偶的等效条件和性质,二、 力偶的性质,2018年9月28日星期五,53,2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，,不因矩心的改变而改变。,静力学, 3-4 力偶的等效条件和性质,二、 力偶的性质,2018年9月28日星期五,54,3、力偶可以在其作用面内任意转移,或移到另一平行平面而不改变它对刚体的转动效应,静力学, 3-4 力偶的等效条件和性质,
