统计学第七章 方差分析

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1、第七章 方差分析,一、 方差分析的基本问题 二、 单因素方差分析 三、 双因素方差分析,方差分析（Analysis of Variance, ANOVA)是假设检验的一种延续与扩展，它可以解决诸如多个均值是否相等等方面的检验问题，在因素分析中具有一定的优势。 例4：一个儿童食品制造商生产儿童麦片，该制造商认为以下三种因素影响麦片味道： （1）麦片中小麦与玉米的比例； （2）甜味剂类型的选择：糖、蜂蜜等； （3）制作时间的长短。 该例中，食品制造商通过生产出不同类型的麦片并邀请儿童进行品尝试验，最后发现： （1）麦片成份及甜味剂类型对麦片食味有很大影响； （2）制作时间对麦片食味没有影响。,一、

2、 方差分析的基本问题,因此，食品制造商可以对麦片成份及甜味剂类型给予充分的关注以生产更合儿童口味的麦片，而对制作时间不必太介意。,方差分析可以用来分析不同因素（如上例中小麦与玉米的比例、甜味剂类型、制作时间）对总体特征是否有显著影响。,所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源,方差分析主要用来对多个总体均值是否相等作出假设检验。 例：某饮料制造商生产一种新型饮料，共有四种颜色： (1)橘黄、(2)粉红、(3)绿色、(4)无色。 该

3、制造商想知道颜色是否对销售量有显著影响，随机抽取了5家超市前一期的销售量（下表）进行分析。,一、方差分析的内容,下表 四种饮料销售量情况,样本均值 27.32 29.56 26.44 31.46 样本方差 2.67 2.14 3.31 1.66 样本标准差 1.64 1.46 1.82 1.29,四种颜色可以看作是四个总体,其中， i(I=1,2,3,4) 表示所有饮料（无色、粉红、橘黄、绿色）销售量之均值。,样本来自于一 个相同的总体,样本来自于不同的总体,要知道颜色是否对饮料销售有显著影响，就是要知道四种颜色饮料销售量的均值是否有显著差异，即进行下述假设检验：,H0: 1=2=3=4 H1

4、: 四个总体均值不全相等,1、相关术语 因素：是一个独立的变量，是方差分析的研究对象 （上例中的饮料颜色）；,二、方差分析的假设,单因素方差分析：只针对一个因素进行分析； 多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。,水平：因素中的内容 （上例中饮料的四种颜色：无色、粉色、橘黄色、绿色 ）,2、进行方差分析必须满足如下假设,（1）每个总体的相应变量（因素）服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 （2）所有总体相应变量（因素）的方差相等2 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四种颜色饮料的销售

5、量的方差都相同 （3）不同观察值（水平）相互独立（每个样本点的取值不影响其他样本点的取值） 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立,在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等的问题 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据就越充分, 如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4 四种颜色饮料销售的均值都相等 没有系统误差 这意味着每个样本都来自均值为、差为2的同一正态总体,如果备择假设成

6、立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全相等 至少有一个总体的均值是不同的 有系统误差 这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总体,观察值之间的差异来自两个方面：,某因素不同水平的影响 （系统性影响）,其他随机因素的影响 （随机性影响）,水平间方差 （组间方差）,水平内方差 （组内方差）,三、方差分析的原理,如果原假设成立：说明某因素不同水平的影响不显著（无系统性影响），只剩下随机性影响，因此组间方差与组内方差差别不大，它们的比接近于1。 如果原假设不成立：说明某因素不同水平的影响显著（存在系统性影响），组间方差与组内方差差别较大，它们的比远超出1。,二、单因素方差分析的步骤 提出假

7、设 构造检验统计量 统计决策,提出假设,一般提法 H0: m1 = m2 = mk (因素有k个水平） H1: m1 ，m2 ， ，mk不全相等 对前面的例子 H0: m1 = m2 = m3 = m4 颜色对销售量没有影响 H0: m1 ，m2 ，m3， m4不全相等 颜色对销售量有影响,构造检验的统计量,为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 离差平方和 均方(MS),构造检验的统计量 (计算水平的均值 ),假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为,式中：

8、 ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值,构造检验的统计量 (计算全部观察值的总均值 ),全部观察值的总和除以观察值的总个数 计算公式为,构造检验的统计量 (前例计算结果 ),构造检验的统计量 (计算总离差平方和 SST),全部观察值 与总平均值 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况 其计算公式为,前例的计算结果： SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+(32.8-28.695)2 =115.9295,构造检验的统计量 (计算误差项平方和 SSE),每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和 反映每个样本各观察

9、值的离散状况，又称组内离差平方和 该平方和反映的是随机误差的大小 计算公式为,前例的计算结果：SSE = 39.084,构造检验的统计量 (计算水平项平方和 SSA),各组平均值 与总平均值 的离差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为,前例的计算结果：SSA = 76.8455,构造检验的统计量 (三个平方和的关系),总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关系,SST = SSE + SSA,构造检验的统计量 (三个平方和的作用),SST反映了全部数据总的误差程度；SSE

10、反映了随机误差的大小；SSA反映了随机误差和系统误差的大小 如果原假设成立，即H1 H2 Hk为真，则表明没有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小 为检验这种差异，需要构造一个用于检验的统计量,构造检验的统计量 (计算均方 MS),各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为均方差 计算方法是用离

11、差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数 SSE 的自由度为n-k,构造检验的统计量 (计算均方 MS),SSA的均方也称组间方差，记为MSA，计算公式为,SSE的均方也称组内方差，记为MSE，计算公式为,构造检验的统计量 (计算检验的统计量 F ),将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检验统计量F 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即,构造检验的统计量 (F分布与拒绝域),如果均值相等，F=MSA/MSE1,对原假设： H

12、0: 1=2=3=4 及备择假设： H1: 四个总体均值不全相等 计算F值： F=MSA/MSE=25.6152/2.4428= 10.486 给出显著性水平：=0.05， 查F(r-1,n-r)分布表临界值：3.24,由于计算的F=10.4863.24 ，拒绝原假设，从而得出：颜色对该公司饮料销售有显著影响。,三、双因素方差分析,分析两个因素(因素A和因素B)对试验结果的影响 分别对两个因素进行检验，分析是一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，还是两个因素都不起作用 如果A和B对试验结果的影响是相互独立的，分别判断因素A和因素B对试验指标的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方

13、差分析 如果除了A和B对试验结果的单独影响外，因素A和因素B的搭配还会对销售量产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析 对于无交互作用的双因素方差分析，其结果与对每个因素分别进行单因素方差分析的结果相同,双因素方差分析中需假设两个因素不交互作用，即各自独立地发挥影响作用。 （一）数据结构,双因素方差分析,双因素方差分析的数据结构, 是因素A的第i个水平下各观察值的平均值, 是因素B的第j个水平下的各观察值的均值, 是全部 kr 个样本数据的总平均值,双因素方差分析的步骤,提出假设,对因素A提出的假设为 H0: m1 = m2 = = mi = = mk (mi为第i

14、个水平的均值) H1: mi (i =1,2, , k) 不全相等 对因素B提出的假设为 H0: m1 = m2 = = mj = = mr (mj为第j个水平的均值) H1: mj (j =1,2,r) 不全相等,构造检验的统计量,为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 构造统计量需要计算 总离差平方和 水平项平方和 误差项平方和 均方,构造检验的统计量 (计算总离差平方和 SST),全部观察值 与总平均值 的离差平方和 反映全部观察值的离散状况 计算公式为,构造检验的统计量 (计算SSA、SSB和SSE),因素A的离差平方和SSA,因素B的离差平方和SSB,误差项平方和SSE,构造检验的统

15、计量 (各平方和的关系), 总离差平方和(SST )、水平项离差平方和 (SSA和SSB) 、误差项离差平方和(SSE) 之间的关系,SST = SSA +SSB+SSE,构造检验的统计量 (计算均方 MS),各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差 计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是 总离差平方和SST的自由度为 kr-1 因素A的离差平方和SSA的自由度为 k-1 因素B的离差平方和SSB的自由度为 r-1 随机误差平方和SSE的自由度为 (k-1)(r-1),构造检验的统计量 (计算均

16、方 MS),因素A的均方，记为MSA，计算公式为,因素B的均方，记为MSB ，计算公式为,随机误差项的均方，记为MSE ，计算公式为,构造检验的统计量 (计算检验的统计量 F),为检验因素A的影响是否显著，采用下面的统计量,为检验因素B的影响是否显著，采用下面的统计量,统计决策, 将统计量的值F与给定的显著性水平的临界值F进行比较，作出接受或拒绝原假设H0的决策 根据给定的显著性水平在F分布表中查找相应的临界值 F 若FA F ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的因素(A)对观察值有显著影响 若FB F ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差异，即所检验的因素(B)对观察值有显著影响,双因素方差分析表 (基本结构),双因素方差分析,