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1、专升本高等数学,第6讲 定积分的应用,本讲出题在7、8分之间，一般考平面图形的面积和旋转体体积，以计算题出现较多。 本讲重点：（1）定积分的几何意义的理解。（2）图形的准确画出。 本讲难点：微元法中的元素和积分上下限的确定。,考试点津：,2011年河南专升本试题,6.1.1 定积分应用的微元法,6.1.2 用定积分求平面图形的面积,图6.1.1,图6.1.2,图6.1.3 图6.1.4,图6.1.5,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定
2、积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,图6.1.6,图6.1.7,6.3 用定积分求平行截面面积为已知的立体的体积,图6.1.8,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,例13. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,图6.1.9,6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长,图6.1.10,上式称为弧微分公式,于是所求的弧长
3、为,图6.1.11,2011年河南专升本试题,思考与练习,1. 定积分的应用,几何方面 :,面积、,体积、,弧长、,表面积 .,物理方面 :,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2. 基本方法 :,微元分析法,微元形状 :,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,转动惯量 .,第六讲,1. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,2. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,分析曲线特点,3.,解:,与 x 轴所围面积,由图形的对称性 ,也合于所求., 为何值才能使,与 x 轴围成的面积等,故,
