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1、1 矩阵的初等变换,定义 初等行(列)变换:,1交换矩阵的两行(列) , 记为,2将矩阵的某行(列) 的各元素乘以同一个非零的数 k , 记为,3将矩阵某行(列) 的各元素乘以同一个数后加至另一行的对应元素上去 , 记为,2.1 矩阵的初等变换,定义 (行阶梯形矩阵),1如果A有零行，零行在非零行下方， 2A的第 k 个非零行的第一个非零元在第 jk 列, 共有 r 个非零行, 则,则称A为行阶梯形矩阵,定义 （规范的行阶梯形矩阵）,指满足下面条件的行阶梯形矩阵 1每个非零行的第一个非零元素为1 2每个非零行的第一个非零元素所在的列的其他元素都为0,1,1,1,定理1 任何矩阵可以经过单纯的行
2、初等变换化为行阶梯形矩阵,定理2 任何矩阵可以经过单纯的行初等变换化为规范的行阶梯形矩阵,例1 用初等行变换化如下矩阵为行阶梯形矩阵,方法: 逐列检查,阶梯形矩阵,规范的行阶梯形矩阵,1,1,1,1,矩阵秩的性质:,1 唯一性,2,3 若矩阵 A 有一个 r 阶子式不为零, 则,4 若矩阵 A 所有的 r 阶子式都为零, 则,5,6行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的数目,7 n 阶可逆矩阵的秩等于 n,推论 可逆矩阵的标准形矩阵( 规范的阶梯形矩阵) 为单位矩阵,推论 设矩阵 r(A) = r , 则 A 的标准形矩阵为,定理 初等变换不改变矩阵的秩,求矩阵的秩的方法将矩阵化为阶梯形矩阵阶梯形矩阵
3、的非零行数即为矩阵的秩,例 2 求矩阵 A 的秩,解,故,3 初等矩阵,定义 单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵,有三种类型的初等矩阵,定理 用一个 m （ n ）阶初等矩阵左（右）乘一个 m n 矩阵， 相当于对这个矩阵作相应的初等行（列）变换,推论 初等矩阵都是可逆矩阵且其逆矩阵也是同类型的初等矩阵,推论 对 m n 矩阵 A ，存在 m 阶可逆矩阵P 与 n 阶可逆矩阵 Q s.t.,推论 设 A 为 m n 矩阵，P 为 m 阶可逆矩阵，Q 为 n 阶可逆矩阵，则, 求逆矩阵的初等变换法,解 构造矩阵,例4 用初等变换法解矩阵方程,初等行变换,解,例5 用初等变换法解矩阵方程,分析,设原方程为,则,例6 设,将A 表示成初等矩阵的乘积,解,证,
