数学分析选论

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1、数学分析选论数学分析选论习题选习题选第十章第十章. 多元函数微分学多元函数微分学1 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限（1） , ；（2） .解 (1) 注意到 , ， 故两个累次极限均为 0，但是, 所以重极限不存在.(2) 注意到 , , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 ， 所以.2 2 设 证明:.证明证明 对 由于 可知当时,便有 . 故.3 3 设 证明：不存在.证明证明 注意到, ,它随而异，因此不存在. 4 4 讨论下列函数的连续性（1）（2）解解 （1）注意到 ， 有因此,，即 在（0，0）处连续.（2）注意到 , 故在（0，0）处不连续.5 5 讨论函数 在点处的偏导

2、数的存在性.解解 由定义知： ,.6 6 试讨论函数 在处的可微性.解解. 因为, 所以, ,其中 , ， 由此知在处可微.7 7 设 , 而 , . 求, . 和解解. 由于 , , , , 于是, .8 8 设 是某可微函数的全微分，求的值.解解 不妨设该可微函数为，则按定义可得，由此知. 从而又得 .联系到上面第一式，有或 ,从而 .9 9 设 . 求 , .解解 这里 是以和 为自变量的复合函数, 它可写成如下形式, , . 由复合函数求导法则知.于是,1010 设在上可微函数满足+，试证：在极坐标系里只是的函数.证证 对于复合函数 ，, 由于 ， =+，因此当时，与 无关，即在极坐标

3、系里只是的函数.第十一章第十一章. 隐函数隐函数1 1 设是由方程，求.解解 方程两边对求偏导，有, 因而 . 方程两边对求偏导，有 ,因而 . 故 .2 2 设, 求.解解 方程组两边对求偏导得到 , 因此有，。方程组两边对求偏导得到, 因此 .3 3 设由方程 所确定，试求.解解 对原方程两端对求导，可得 ，从而知. 4 4 设由方程 所确定，试求.解解 对原方程取对数，得，并该式两端对求导，有，即 ，再对上式两端对求导，得.5 5 证明： 方程所确定的隐函数 满足.证明证明 对方程两边分别对和求偏导数，有，分别解得 ，于是，得到 6 6 试求椭球面内接最大长方体的体积.解 易知，此内接长

4、方体的六个面必分别平行于坐标平面。设此内接最大长方体在第一象限中的坐标为，由对称性可知该长方体的体积为，从而问题转化为求函数在条件下的最值问题。设辅助函数为 , , 则有.从中可得出唯一解 ， 。根据几何性质不难推知，该椭球面之内接长方体在第一象限的顶点为时达到最大体积7 7 求表面积为, 而体积最大的长方体的体积.解解 设长，宽，高分别为，则问题变为求函数 的最大值，联系方程为 . 设辅助函数为，则有解方程组得到，因而最大体积为.8 8 求空间曲线 ， ，在点（对应于）处的切线方程和法平面方程.解解 将代人参数方程，得点，该曲线的切向量为T=（, 于是得切线方程为 法平面方程为 =0，即 9

5、 9 求椭圆面在处的切平面方程与法线方程.解解 设. 由于在全空间上处处连续, 在处 于是, 得切平面方程为,即 .法线方程为 . 第十三章第十三章. 重积分重积分1 1 设是由直线 和 围成, 试求 的值.解解 先对积分后对积分 .由分部积分法, 知 .2 2 设是由矩形区域，围成, 试求的值.解解 由于 则3 3 设=, 试求的值.解解 利用极坐标变换4 4 试用变量代换计算下面的积分（1） , D 由围成.（2）, .解解 （1）令，则 D 变成，且积分成为（2） 令，则 D 变成，且原积分成为5 5 设是上的正值连续函数，试证，其中是 ，.证明证明 由于对上面区域变换积分变量记号时，积

6、分区域不变，因此.6 6 计算, 其中为由平面, , , , 与所围成.解解 在平面上的投影区域为, 于是.7 7 计算计算 , ,其中 积分区域为 ，的公共部分.解法解法 1 用球坐标计算积分，积分区域分解成；，其中；，于是=. . 解法解法 2 用平行于 0xy 平面去截此 V，得到的截痕为圆，因此，可用“先二后一” 法，有=. .8 8 变换为球面坐标计算积分 .解解 积分区域变换为球面坐标为 .于是, =.9 9 设函数连续，,其中，求和 .解解 因为区域为柱状区域，被积函数中第二项为，所以用柱坐标法比较方便.于是, . 利用洛必达法则, 有.10.10. 求曲面被柱面与平面所割下部分

7、的面积.解解 曲面方程表示为 , , , 于是所求面积S=.第十四章第十四章. 曲线与曲面积分曲线与曲面积分1 计算 ， 其中 L 是摆线 的一段 （ ）.解解 由, , 可得, , 则 =.2 计算，其中为以，为顶点的正方形封闭围线.解解 段：直线方程 ，.段：直线方程 ，.段：直线方程 ，段：直线方程 ，于是有， =0 .3 3 计算，其中为四分之一 的边界，依逆时针方向.解解 设，则原式.4 4 解答下列问题（1）设 是光滑弧上的连续函数，长度记为 ，则， ，(2) 设， ， 则，（3）设是曲线 上从到之线段，证明: . 解解 (1) 注意到柯西不等式，。（2）由于 ， ，可知 . 采用

8、极坐标，可得.由此知 , 利用题（1），有， （2） 因为 ，所以， 。.将曲线用参数式表示，即令 ， ，且取顺时针方向为正，可知.5 5 判别下列表达式.是否某函数的全微分，若是的话，求出这个函数.解解 设，因为, 则是某函数的全微分.且.6 6 求, 其中是点 A(2,0)到点 O(0,0)的上 半圆周. 解解 用轴上直线段, 使上半圆周和直线段构成封闭曲线. 设, .有.于是,由格林公式知=.其中在直线段上, 有, , 则.因此 .7 7 计算下列积分（1） ， 是中的一条简单光滑闭曲线，在 上连续可微.（2），是从点到点的直线段, 是上的连续函数.解解 （1）由 可知， , 其中是所围

9、区域，由格林公式, 可得.（2）由 , 可知，当时，有 。 从而取点。 并作，使形闭曲线，记 所围区域为，于是8 8 求曲面被平面截下部分之曲面面积 S.解解 由得 ，从而 。注意到该曲面上的点关于平面对称，且其上半部分在平面上的投影为区域，从而有.9 9 计算曲面积分, 其中为圆锥面被曲面所割下的部分.解解 对于圆锥面，则 ，在平面上投影区域为：，于是.1010 计算 ， 其中 S 是由曲面与平面所围成立体表面的外侧.解解 曲面 S1 取负侧，而投影区域为 D1：，于是应用极坐标可得，曲面 S2 取正侧，而投影区域为 D2：2，于是应用极坐标可得，于是, .1111. 求, 其中 S 是边长为的正方体 的外侧. 解解 利用高斯公式, 得.1212 计算, 其中是圆周, ，若从轴正向看出，L 是沿逆时针方向运行.解解 平面的法线方向单位向量为，围成方程为依斯托克斯公式得，=.