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1、第二篇 数学物理方程,1,Mathematical Equations for Physics,想要探索自然界的奥秘就得解微分方程, 牛顿,重点,1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法； 2、系统的边界条件和初始条件的写法； 3、一维波动方程的行波解。,第七章 数学物理方程的定解问题,数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程(涉及到多个变量)，有时也包括与此有关的积分方程。,2,一、数学物理方程-泛定方程:物理规律的数学表示,物理规律 物理量u 在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。 物理规律的直接表现：u在邻近地点
2、和邻近时刻所取的值之间的关系式偏微分方程,数学语言翻译,泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。,3,二、边界问题-边界条件,体现边界状态的数学方程称为边界条件,三、历史问题-初始条件,体现历史状态的数学方程称为初始条件,例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。,定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。,4,定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。 泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性
3、。,具体的问题的求解的一般过程：,1、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律,2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件求解所必须用的,7.1 数学物理方程的导出,5,3、求解方法 行波法、分离变量法、等,导出步骤：,1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻近部分与它的相互作用。,2、根据物理规律，以算式表达这个作用。,3、化简、整理。,波动方程的导出,（一）均匀弦的微小横振动,弦的横振动,设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动 u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移 求：细弦上各点的振动规律,6,选取不包括端点的一小段(x
4、, x+dx) (1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 (2)振幅极小 张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。,研究对象： 简化假设：,u(x),u+u,u,0,1,2,T2,T1,x,x+x,弦的原长,现长,7,沿x-方向，不出现平移,弦长dx ，质量密度，B段的质量为m= dx,沿垂直于x-轴方向,受力分析和运动方程,u(x),u+u,u,0,1,2,T2,T1,x,x+x,B,8,在微小振动近似下：,弦中各点的张力相等,波动方程,波速a,在上式推导过程中，出现的力是弦内的张力，外力为零。在受到横向作用
5、力时，弦运动为受迫振动。,设单位长度上弦受力 ，力密度为,受迫振动方程,9,单位质量所受外力，力密度,（二）均匀杆的纵振动,设：均匀细棒(杆)，沿杆长方向作微小振动 u(x,t): 平衡时坐标为x 的点在t 时刻沿x 方向的位移。求：细杆上各点的运动规律 研究对象：取一不包含端点的小段（x, x+dx）,并设杆的横截面积为S，密度为 ，杨氏模量为Y，该小段在t时刻的伸长量u(x+dx,t)-u(x,t),相对伸长量：,10,胡克定律：,Y：杨氏模量，,运动方程：,杆的dx一段相对伸长,杆dx两端的相对伸长不同，应力也不同,又，牛顿定律：,a为波速,11,（四）均匀薄膜的微小横振动,设：均匀柔软
6、的薄膜绷紧，膜平面为xy平面，研究膜在垂直于xy平面的微小横振动 u(x,y,t): 坐标点为(x,y)的横向位移,为张力在xy平面上的投影方向,薄膜,T,u,xy平面的,张力T的横向分量,12,在x和x+dx两边所受的横向作用力,x,y,x+dx,y+dy,x,y,n(即y),n(即x),在y和y+dy两边所受的横向作用力：Tuyydxdy, 为单位面积的薄膜质量,薄膜的受迫振动方程,单位面积上的横向外力,单位质量上的横向外力,13,14,连续性方程:（扩散问题）,研究连续分布的某种物理量,密度：单位容积中物理量的多少,流强度：单位时间通过单位面积的该物理量（v 为流速）,单位时间沿x-方向
7、净流入量,单位时间净流入量等于由密度增加的量,物质的总量守恒,（七） 扩散方程,扩散现象：系统的浓度 u(x) 不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。,扩散定律：,浓度梯度：,扩散流强度：单位时间通过单位面积的物质的量,一维扩散方程,均匀,利用连续性方程,带入扩散定律,三维扩散方程,15,（八）热传导方程,热传导: 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。,由能量守恒，（满足连续性方程）,系统的温度,热流强度：单位时间通过单位面积的热量,热传导定律：,热传导系数,为密度，c为比热,三维热传导方程,16,17,2、用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。,x s1,x+dx
8、 s2,x,u(x,t),解：如图选坐标系，选dx段为研究对象,dx段两边受拉力分别为,由牛顿第二定律：,作业：P121，2, 7, 8,18,7：长为l的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。,X,解：如图选坐标系，由于惯性离心力的作用，绳内各处受力不同，x处的拉力为,即,7.2 定解条件,常微分方程定解问题回顾,常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常数。常微分方程定解问题就是确定积分常数。,利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0)确定积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微
9、分方程出现两个积分常数。,数学物理方程的定解问题,要求给定：边界条件和初始条件,19,（一） 初始条件,对于输运过程（扩散、热传导），初始状态是指所研究的物理量u的初始分布,初始“位移”,初始“速度”,t的一次微分方程，只需要初始位移 t的二次微分方程还需要初始速度。,初始分布,对于振动过程,20,和 是空间坐标的函数,例：,21,注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。,一根长为l的弦，两端固定于0和l。在中点位置将弦沿着横向拉开距离h ，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。,解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有,初始位移,（二）边界条
10、件,定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。,A.第一类边界条件,直接给出系统边界上物理量的函数形式。,如：两端固定的弦振动,和,位置确定,22,常见的线性边界条件分为三类：,细杆热传导,或随时间变化的温度,恒温,B.第二类边界条件,第一类边界条件的基本形式：,速度确定,细杆的纵振动：当端点“自由”，即无应力。根据胡克定律，杆的相对伸长也为零：,细杆热传导：端点绝热，热流强度为零，由热传导定律：,23,C.第三类边界条件,位移和速度的组合,细杆热传导：端点“自由”冷却 (热流正比于温差)。,牛顿冷却定律：,T 为环境温度。,根据热传导定律，在 x=l 处：,负x方向,正x方向,在x=0 处,
11、24,细杆纵振动：端点与固定点弹性连接。应力为弹性力,胡克定律：,弹性力：,则在端点,一般表达式：,这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。,（三）衔接条件,系统中可能出现物理性质急剧变化的点(跃变点)。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的，这就构成衔接条件。,25,例,横向力 作用于 点。,弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值相同。,这两个等式就是衔接条件。,又，横向力应与张力平衡：,即,1,2,26,确定c：,ds=dx,力平衡条件：,x,h,F0,1、如右图，在h处受到拉力F0 ,写出初
12、始位移.,2,1,解,27,解出：,作业：P128，1, 3,在边界上有：,若端点是绝热的，则,解：,x=l处：,x=0处：,7.4 达朗贝尔公式 定解问题,行波法,用行波法求解波动方程的基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。,（一）波动方程的达朗贝尔公式,29,将 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除：,当 a=1 ，相当于沿 x 和 t 求导，变成沿对角线求导。当 a 不为1，则求导的线进行相应的角度变化。,变换：,和,显然，,坐标变换,30,(1)
13、 通解,对 积分：,积分常数依赖于,再积分：,以f2为例讨论其意义,作坐标变换：,新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中以速度 a 运动；函数的图像在动坐标系中保持不变。,f2(x-at) 是以速度 a 沿 x 轴正方向运动的行波, f1(x+at)是以速度 a 沿 x 轴反方向运动的行波。,31,确定待定函数的形式,无限长，即无边界条件,设初始条件为,和,(2)达朗贝尔公式,32,设初速度为零,由达朗贝尔公式,33,设初位移为零,假使初始速度在区间x1,x2上是常数0,其中,解：,34,35,t=0,t1,t2,t3,（二）端点的反射,一个端点固定,设初始条件为,和,边界条
14、件,达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x0,tx/a时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t) 延拓到这个范围,，作奇延拓：,半无限长弦的自由振动,36,37,半波损失,只有初始位移，没有初始速度,开始反射,38,一个端点自由,设初始条件为,和,边界条件,应该是偶延拓,39,无半波损失,只有初始位移，没有初始速度,开始反射,40,从达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化。方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来。而这种演化又受到边界条件的限制。这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性。,达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波的叠加,41,习题 7.4.1,解：,习题 7.4.6,设初始条件为,和,边界条件,42,作业：P141，1, 4, 8,定解问题,43,端点自由时的解,分解,解：通解为,定解条件,求：,44,求,45,求解两端固定弦的自由振动,泛定方程的通解,边界条件,周期函数，同理,改写为,是x的奇函数，周期为2l,
