一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

《一元二次方程应用题经典题型汇总含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程应用题经典题型汇总含答案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、z z 一元二次方程应用题经典题型汇总一元二次方程应用题经典题型汇总 一、增长率问题一、增长率问题 例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一 月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元， 求这两个月的平均增长率. 解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(120%)(1+x)2193.6， 即(1+x)21.21，解这个方程，得x10.1，x22.1（舍去）. 答 这两个月的平均增长率是10%. 说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中 每一个数据的意义，即可利用公式m

2、(1+x)2n求解，其中mn.对于负的增长率问题， 若经过两次相等下降后，则有公式m(1x)2n即可求解，其中mn. 二、商品定价二、商品定价 例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商 品售价a元，则可卖出（35010a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%， 商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 解 根据题意，得(a21)(35010a)400，整理，得a256a+7750， 解这个方程，得a125，a231. 因为21(1+20%)25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以35010a3501025100（件）. 答

3、需要进货100件，每件商品应定价25元. 说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点. 三、储蓄问题三、储蓄问题 例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行” ，到期后 将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入， 这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共 530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得90x2+145x30. 解这个方程，得x10.02042

4、.04%，x21.63.由于存款利率不能为负数，所以将 x21.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 四、趣味问题四、趣味问题 例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁 边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二 人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不 少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？ 解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1

5、)x1.8，整理，得x2+0.8x1.80. 解这个方程，得x11.8（舍去） ，x21. 所以x+1.4+0.11+1.4+0.12.5. 答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m. 说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等 量关系，列出方程求解. 五、古诗问题五、古诗问题 例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x3. 则根据题意，得x210(x3)+x，即

6、x2-11x+300，解这个方程，得x5或x6. 当x5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去； 当x6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意. 答 周瑜去世的年龄为36岁. 六、象棋比赛六、象棋比赛 例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0 分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是 1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选 手参加. 解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n1)个选手比赛一局，共计n(n1)局， 但两个选手的对局从每个选手的角度各自统

7、计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n1)局. 由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然(n1)与n为相邻的自然数， 容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是 1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n1)1980，得 n2n19800，解得n145，n244（舍去）. 答 参加比赛的选手共有45人. 说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些 方法求解. 七、情景对话七、情景对话 例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游

8、，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为 1000252500027000，所以员工人数一定超过25人. 则根据题意，得100020(x25)x27000. 整理，得x275x+13500，解这个方程，得x145，x230. 当x45时，100020(x25)600700，故舍去x1； 当x230时，100020(x25)900700，符合题意. 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游. 说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中 找出符合题意的结论.

9、 八、等积变形八、等积变形 例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m） （1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半 径；若不能符合条件，请说明理由. 解 都能.（1）设小路宽为x，则18x+16xx21815，即x234x+1800， 解这个方程，得x，即x6.6. （2）设扇形半径为r，则3.14r21815，即r257.32，所以r7.6. 说 明 等积变形一

10、般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形 变积也变，但重量不变，等等. 九、动态几何问题九、动态几何问题 例9 如图4所示，在ABC中，C90?/SPAN，AC6cm，BC8cm，点P 从点A出发沿边AC向点C以1cm/s 的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以 2cm/s 的速度移动. （1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的 面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. 解 因为C90?/SPAN，所以 AB10（cm）. （1）设xs 后，可使PC

11、Q的面积为8cm2，所以 APxcm，PC(6x) cm，CQ2xcm. 则根据题意，得(6x)2x8.整理，得x26x+80，解这个方程，得 x12，x24. 所以P、Q同时出发，2s 或4s 后可使PCQ的面积为8cm2. （2）设点P出发x秒后，PCQ的面积等于ABC面积的一半. 则根据题意，得(6x)2x68.整理，得x26x+120. 由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据 路程速度时间. 十、梯子问题十、梯子问题 例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6

12、m. （1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？ （2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？ （3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多 少米？ 解 依题意，梯子的顶端距墙角8（m）. （1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm. 则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150， 解这个方程，得x11.14，x213.14（舍去） ， 所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m. （2）当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动xm. 则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6

13、+1)2100.整理，得x216x+130. 解这个方程，得x10.86，x215.14（舍去）. 所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm. 则根据勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0， 解这个方程，得x10（舍去） ，x22. 所以梯子顶端向下滑动2m 时，底端向外也滑动2m. 说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三 角形. 十一、航海问题十一、航海问题 例11 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向 200海里处有一重要目标B，在B的正东方向2

14、00海里处有一重要目标C，小岛D恰好位 于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一 艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直 线航行，欲将一批物品送往军舰. （1）小岛D和小岛F相距多少海里？ （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处， 那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里） 解（1）F位于D的正南方向，则DFBC.因为ABBC，D为AC的中点，所以 DFAB100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里. （2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DEx海里，AB+BE2x海里，

15、 EFAB+BC(AB+BE)CF(3002x)海里. 在 RtDEF中，根据勾股定理可得方程x21002+(3002x)2，整理，得 3x21200x+1000000. 解这个方程，得x1200118.4，x2200+（不合题意，舍去）. 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里. 说明 求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图 形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程. 十二、图表信息十二、图表信息 例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成1212个小正方形格，将边长 为n（n为整数，且2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，

16、黑白相间地摆放， 第一张nn的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的nn个小正方形格，第二张纸片盖住 第一张纸片的部分恰好为(n1)(n1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD的右下角为止. 请你认真观察思考后回答下列问题： （1）由于正方形纸片边长n的取值不同， 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同， 请填写下表： 纸片的边长n23456 使用的纸片张数 （2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面 积为S2. 当n2时，求S1S2的值； 是否存在使得S1S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由. 解（1）依题意可依次填表为：11、10、9