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1、第四章 杆件的变形计算,直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向变形相应变细或变粗,第一节 拉（压）杆的轴向变形,第四章 杆件的变形计算,1、杆的纵向总变形：,3、平均线应变：,2、线应变：单位长度的线变形,L1,4、x点处的纵向线应变：,6、x点处的横向线应变：,5、杆的横向变形：,二、拉压杆的弹性定律,1、等内力拉压杆的弹性定律,2、变内力拉压杆的弹性定律,内力在n段中分别为常量时,“EA”称为杆的抗拉压刚度。,N(x),dx,x,3、单向应力状态下的弹性定律,4、泊松比（或横向变形系数）,泊松比 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各
2、向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系,公式的适用条件,1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律,2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。,是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。,东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (
3、图),例题4-1：,如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2，BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa，求该杆的总伸长量。,1）求出轴力，并画出轴力图,2）求伸长量,mm,伸长,缩短,缩短,例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E200 GPa， = 0.3，拧紧后，l 0.04 mm。试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 (b) 螺栓的横向变形d,解：1) 求横截面正应力,2) 螺栓横向变形,螺栓直径缩小 0.0034 mm,l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E200 GPa， = 0.3， l
4、0.04 mm,例4-3 节点位移问题,如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模量E2=10GPa。求铰接点C的位移。F = 80 kN。,分析,通过节点C的受力分析可以判断AC杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而BC杆将缩短。,因此，C节点变形后将位于C3点,由于材料力学中的小变形假设，可以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替圆弧（以切代弧法），得到交点C0,解,1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）,拉,压,伸长,缩短,解,2）求AC和BC杆分别的变形量,解,3）分别作AC1和
5、BC2的垂线交于C0,C点总位移：,(此问题若用圆弧精确求解),第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角,在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距 为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dj,取,单位长度扭转角 用来表示扭转变形的大小,单位长度扭转角的单位: rad/m,抗扭刚度,越大，单位长度扭转角越小,在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角j 。,相对扭转角的单位: rad,当 为常数时：,请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别,同种材料阶梯轴扭转时:,例4-4 一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400Nm， T2=600Nm， T3=800Nm， d1=60mm，d2=
6、40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。,1）根据题意，首先画出扭矩图,2）AB 段单位长度扭转角：,3）BC 段单位长度扭转角：,综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m,例4-5 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, j DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）j AC,1）画出扭矩图,2）求最大切应力,首先要求出M 的数值,第三节 梁的变形,梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是
7、机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。,1、梁的变形,梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。,某截面的竖向位移，称为该截面的挠度,某截面的法线方向与x轴的夹角称为该截面的转角,挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位置有关，可以表示为关于 x 的函数。,挠度方程（挠曲线方程）,转角方程,1、梁的变形,第三节 梁的变形,挠度和转角的正负号规定,在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q 为正。,1、梁的变形,坐标系的建立：坐标
8、原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。 挠度的符号规定：向上为正，向下为负。 转角的符号规定：逆时针转向的转角为正； 顺时针转向的转角为负。,挠度和转角的关系,1、梁的变形,在小变形假设条件下,挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角,2、挠曲线近似微分方程,纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:,横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。,高等数学中，关于曲率的公式,在梁小变形情况下，,2、挠曲线近似微分方程,梁的挠曲线近似微分方程最终可写为,用积分法求梁的
9、弯曲变形,梁的挠曲线近似微分方程,对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁 EI 为常数）,再进行一次积分,可得到挠度方程,其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。,边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 积分常数与边界条件、连续条件之间的关系： 积分常数2n个=2n个 边界条件+连续条件,积分常数的物理意义和几何意义 物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得 即坐标原点处梁的转角，它
10、的EI倍就是积分常数C；坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。 几何意义：C转角D挠度,边界条件,在约束处的转角或挠度可以确定,用积分法求梁的弯曲变形,连续条件,在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边界条件或连续条件将其确定。,用积分法求梁的弯曲变形,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,利用积分法求梁变形的一般步骤： 建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程； 分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次； 利用边界条件，连续
11、条件确定积分常数； 建立转角方程和挠曲线方程； 计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。,例4-6 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角 和挠度 。,用积分法求梁的弯曲变形,（1）按照图示坐标系建立弯矩方程 请同学们自己做一下（时间:1分钟）,（2）挠曲线近似微分方程,（3）积分,用积分法求梁的弯曲变形,（4）确定积分常数 由边界条件,代入上面两式,（5）列出转角方程和挠曲线方程，将 C、D 的值代入方程,用积分法求梁的弯曲变形,（6）求B点的挠度和转角,在自由端 ， x = l,用积分法求梁的弯曲变形,例4-7 如图所示，简支梁受集中
12、力F 作用，已知EI 为常量。试求B 端转角和跨中挠度。,用积分法求梁的弯曲变形,（1）求约束反力,（2）列出弯矩方程,AC段,CB段,（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算,用积分法求梁的弯曲变形,AC段,CB段,用积分法求梁的弯曲变形,利用边界条件和连续条件确定四个积分常数,AC段,CB段,边界条件:,连续条件:,由于挠曲线在C点处是连续光滑的， 因此其左右两侧转角和挠度应相等。 即,代入上面的式子,用积分法求梁的弯曲变形,得到转角方程和挠度方程,AC段,CB段,（5）求B指定截面处的挠度和转角,若,用积分法求梁的弯曲变形,通过积分法我们可以求出
13、梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积分法方便。,在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。,用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查教材7879页表4-2计算得出。,叠加法求梁的变形,一、载荷叠加：多个载
14、荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。,=,+,查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。,叠加法求梁的变形,例4-8 求图中所示梁跨中点的挠度及 A 点的转角。已知 ，梁的抗弯刚度EI 为常数 。,叠加法求梁的变形,=,+,叠加法求梁的变形,例4-9 如图，梁的左半段受到均布载荷q 的作用，求 B 端的挠度和转角。梁的抗弯刚度EI 为常数 。,叠加法求梁的变形,考虑其变形:,由于CB 段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即CB 仍为直线。根据几何关系可知：,由于在小变形的假设前提下,查表:,代入上面的计算式,叠加法求梁的变形,在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表4-2中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。,类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。,一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚化法）。,叠加法求梁的变形,例4-10 求图示外伸梁的 C截面的挠度转角 EI 为常数。,
