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1、有关要求：,1、作业每周交一次，每周五交，由各班学习委员收齐后放到教师休息室。作业情况及到课情况均计入期末总评成绩。,2、学习过程中碰到的问题，可在课间提问，或者通过纸条、Email将问题给我, 我会尽快回答。,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.,恩格斯,二、如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚
2、的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,恩格斯,要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.,一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,华罗庚,1.微分,当 很小时,切线纵坐标的增量,即：,由此可知微分的一个重要应用是：,近似计算。,2、定积分问题举例,曲边梯形的面积如何求？,设曲边梯形是由连续曲线,和 x 轴，以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个
3、小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,解决步骤 :,1) 分割.,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 近似.,在第 i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3) 求和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,第一章,一 元 函 数,函数高等数学研究的主要对象.,第一章,二、集合与数集,三、一元函数的定义,一、常量与变量,第一节,函 数 概 念,四、函数的几种特性,一、常量与变量,常量：在考察过程中值不发生化的
4、量，是初等数学讨论的主要对象，常用 a, b, c 等字母表示。,变量：在考察过程中值发生化的量，是高等数学主要研究的对象，常用字母 x, y, z 等表示。,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,二、 集合与数集,1. 集合,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,表示法：,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整
5、数集合,或,有理数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,集合的直积(笛卡儿乘积),特例:,为平面上的全体点集,高等数学的基础是实数理论.,1、实数与数轴上的点一一对应；,2、实数是连续的；有理数不连续。,3、任何两个有理数之间必存在无理数，任何两个无理数之间也必存在有理数.,开区间,闭区间,2. 区间数轴上一段连续的“点”所构成的数集.,半开区间,无限（穷）区间,设d 是一正数, 则称开区间( a - d, a + d )为点a 的d 邻域, 记作d ( a, d ), 即U ( a, d ) = x | a - d x a + d = x | | x-a | d . 其中点
6、a 称为邻域的中心, d 称为邻域的半径.,3、邻域,以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).,去心邻域:,左 邻域 :,右 邻域 :,三、一元函数的定义,我们熟悉如下公式或方程 圆周长公式 L = 2p r ( r 0 ) 圆面积公式 S = p r2 ( r 0 ) 自由落体的速度公式 V = g t (t 0 ) 直线方程 y = a x + b ( - x + ) 抛物线方程 y = (x-a)2 + b (- x +) 双曲线方程 x y = 1 ( x 0 ),它们的共同点是至少有两个变量 当一个变量在给定的范围内取得一个定值后 可以通过公式或方程确定出另一个变量的
7、值,引例,定义11 设 x 和 y 是两个变量，D是一个非空数集, 若有确定的法则 f ，使对于每一个数 x D 总有变量 y 的一个确定的数值与之对应 则称变量 y 是变量 x 的函数 记作 y = f ( x ) x 称作自变量 y 称作因变量 D 称作函数 y = f ( x )的定义域,函数的定义,函数 y = f ( x ) 中的“f ”表示的是一个对应规则 即对每一个 x D 按规则 f 有一个确定的 y 值与之对应 对应规则也常用 y j h g F 等表示 此时函数就记作 y (x) j ( x ) h ( x ) g ( x ) F ( x )等,当 x 取遍 D 的每一个数
8、值 对应的函数值的全体 y | y = f ( x ) xD 称为函数y = f ( x ) 的值域 记作 f ( D ),(对应规则),(值域),(定义域),例如, 反正弦函数,定义域,使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.,定义域,值域,又如, 绝对值函数,定义域,值 域,定义域和对应法则是函数关系的两个要素.,在平面直角坐标系中 取自变量在横轴上变化 因变量在纵轴上变化 则平面点集 ( x y ) | y = f ( x ) x D称为函数 y = f ( x ) 的图形,函数的图形,函数 y = x2 + 1 的图形,常用的函数表示法有公式法（解析）、表格法和图形法,1、公式法用数学
9、公式表示因变量与自变量之间的对应法则,此表表示了毛线的零售量s随月份t而变化的函数关系 它的定义域为 D=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,例2 某城市一年里各月毛线的零售量(单位 百公斤)如下表所示,表格法将自变量和因变量的一些对应值用表格列出来,常用的函数表示法有公式法、表格法和图形法,例3 某河道的一个断面图形如下 其深度y与一岸边0到测量点的距离x之间的对应关系由图中的曲线所示 这里深度y是测距x的函数关系是用图形表示的 它的定义域为D=0 b,图像法用函数的图像表示自变量和因变量间的关系,常用的函数表示法有公式法、表格法和图形法,这三种表示方法各有优缺点：,有些函
10、数 对于其定义域内自变量 x 的不同的值 不能用一个统一的数学表达式表示 而要用两个或两个以上的式子表示 这类函数称为“分段函数” ,当x(- 0时 y=x 当x(0 +)时 y=-x,这是定义域在(- +)上的分段函数,当x(- 0)时 y=x+1 当x=0时 y=0 当x(0 +)时 y=x-1,这是定义在(- +)上的分段函数,例6 用分段函数表示函数 y 3 | x 1 |,解 当 x 0 使对任意 x X 都有 | f ( x ) | M 则称函数 f ( x ) 是 X 上的有界函数 否则称函数 f ( x ) 在 X上无界,举例函数 y sin x在( )内是有界的 因为对任何实
11、数x有|sin x|1,在1 )上是有界的,注意：函数是否有界离不开自变量的取值范围.,2、单调性设函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义 x1 和 x2 为 I 中任意两点 如果当x1 x2 时 总有 f ( x1 ) f ( x2 ) 则称函数 f ( x )在区间 I 上单调增加 如果当 x1 x2 时 总有 f ( x1 ) f ( x2 ) 则称函数 f ( x ) 在区间 I 上 单调减少,单调增加函数的图形是沿 x轴正向逐渐上升的,单调减少函数的图形是沿x轴正向逐渐下降的,3、奇偶性 设函数 f (x)的定义域 D 关于原点对称 如果对任意 xD 有 f (x) f (x)
12、则称 f (x)为偶函数 如果对任意 xD 有 f (x) f (x) 则称 f (x)为奇函数,偶函数的图形对称于 y 轴 奇函数的图形对称于原点,说明:,1. 定义域关于原点不对称的函数一定是非奇非偶函数。,2. 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,结论：1. 两个偶函数的和或积还是偶函数。,2. 两个奇函数的和是奇函数，积是偶函数。,一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数; 和是非奇非偶函数。,4. 常值函数是偶函数。,解,因为,例8 判断 的奇偶性 ,所以是奇函数.,4、 周期性,则称,为周期函数 ,称 l 为周期,(一般指最小正周期).,周期为 ,周期为,注: 周期函数
13、不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,第一章,二、复合函数,一、反函数,第二节,反函数和复合函数,一、反函数,销售量 x 是销售收益 y 的函数,我们称上述两个函数为互为反函数,设某种商品销售总收益为y 销售量为x 已知该商品的单价a 则销售总收益是 x 的函数 y a x 反过来 对每一个给定的销售总收益 y 则可以由 y a x 确定出销售量 x ,定义12(反函数) 设函数 y f ( x ) 的定义域为 D 值域为 Z 如果对于每个 y Z 都存在唯一 x D 使 f ( x ) y 则 x 是一个定义在 Z上的函数 记为x f 1( y ) ( y Z ) 称为 y f ( x ) ( x D ) 的反函数,函数 y f ( x )与函数 x f 1 ( y ) 是互为反函数,思考：,函数 y f ( x )与函数 x f 1 ( y ) 的图像是什么关系?,习惯上 我们将 x f 1( y ) 改写为以 x 为自变量、以 y 因变量的函数 y f 1( x ) 这时我们说 y f 1(x)是 y f ( x ) 的反函数,因为 x 与 y 互换 所以它们的图形是对称于直线 y x,一个函数如果有反函数 它必定是一一对应的函数关系,严格单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同.,
