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1、 1 / 102018 高考一轮复习系列高考一轮复习系列解三角形解三角形专题复习概述专题复习概述一一.考纲解读考纲解读1.正弦定理、余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用：能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.二二.基础剖析基础剖析1.正弦定理与余弦定理的证明2.正弦定理与余弦定理推导公式3.正弦定理与余弦定理的应用4.三角形解的情况的判定5.重要关联知识点与公式2 / 10三三. 命题方向解析命题方向解析命题方向一：求解未知的边命题方向一：求解未知的边例一. (2016安徽五校联考)在ABC 中， 是 2B 与 2C 的等
2、差中项，AB，角 B 的平分A22线 BD，则 BC_3【解析】 在ABC 中， 是 2B 与 2C 的等差中项，A2(BC)，而A2ABC180，A120.在ABD 中，由正弦定理得，sinADB，ADB45，ABD15，ABsinADBBDsinAABsinABD22ABC30，ACB30，ACAB，在ABC 中，BC2.AB2AC22ABACcosA6【答案】 6例二. (2016衡中调研)在平面四边形 ABCD 中，ABC75，BC2，则 AB 的取值范围是_ 【解析】 如图，作PBC，使BC75，BC2，作直线 AD 分别交线段 PB、PC 于 A、D 两点(不与端点重合)，且使BA
3、D75，则四边形 ABCD 就是符合题 意的四边形过 C 作 AD 的平行线交 PB 于点 Q，在PBC 中，可求得 BP，在62QBC 中，可求得 BQ，所以 AB 的取值范围是(，6262)62【答案】 (，)6262例三. (2016百校联盟)已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的三边分别为 a，b，c，且sin(A )，若ABC 的面积为 24，c13，则 a 的值为( )47 2263 / 10A8 B14 C. D12145【解析】 sin(A )，sinAcosA，sinAcosA，与47 22622227 226713sin2Acos2A1 联立可得 cos2AcosA0，
4、解得 cosA或 cosA，故713601695131213或00，所以 cos(AB)0，即tanAtanC 1tanAtanC2tanA13tan2AsinB sinAcosC0，所以 tanB，当且仅当 tanA，即 A 时取等号，故2tanA2 3tanA333365 / 10tanB 的最大值为，因此选 A.33例四. (2016太原调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD.为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得DAC15，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得DBC45.根据以上数据计算可得cos_【解析】 由于
5、DBC45，则ADB30，由正弦定理得，即ABsinADBDBsinDAB，解得 BD25()，又由正弦定理得，即50sin30DBsin1562DCsinDBCDBsinDCB，那么 sinDCB1，故 coscos(DCB90)25sin4525（ 6 2）sinDCB3sinDCB1.3【答案】 13命题方向三：求面积的值或最值（范围）命题方向三：求面积的值或最值（范围）例一. (2016安徽六校)在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且bcosC3acosBccosB，2，则ABC 的面积为( )BABCA. B. C2 D423222【解析】 依题意，得 bcosCcc
6、osB3acosB，由正弦定理得 13cosB，cosB ，因为132，即 accosB2，故 ac6，故ABC 的面积为 acsinB2.BABC122【答案】 C例二. (2016江西两校)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c2(ab)26，C ，则ABC 的面积是( )36 / 10A3 B. C. D39 323 323【解析】 c2(ab)26，a2b2c22ab6，又cosC ，ab6，SABC absinC 6.a2b2c22ab2ab62ab121212323 32【答案】 C例三. (2016芜湖模拟)在ABC 中，已知 AB8，BC7，cos(
7、CA)，则ABC 的面1314积为_【解析】 如图，在边 AB 上取一点 D，使得 ADCDx，则 cosDCBcos(CA)，于是在CBD 中，由余弦定理，得，解得 x5.从而 cosBx272（8x）214x1314，所以 sinB，故 SABC 8710.3272522 3 711141cos2B5 314125 3143【答案】 103例四. (2016福州模拟)已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，(3b) (sinAsinB)(cb)sinC，且 a3，则ABC 面积的最大值为_ 【解析】 由 a3，(3b)(sinAsinB)(cb)sinC，即(ba)
8、(sinAsinB)(cb)sinC， 由正弦定理得(ba)(ab)(cb)c，即 b2c2a2bc，所以cosA A60，所以 bcb2c2a22bc9bc9，所以 Sb2c2a22bc12ABC bcsinA，即ABC 的最大面积为.129 349 34【答案】 9 34命题方向四：其他综合问题命题方向四：其他综合问题例一. (2016开封调研)已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2b2)7 / 10sin(AB)(a2b2)sin(AB)，则ABC 的形状是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角 形 【解析】 方法一：由正
9、弦定理得 sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB， 因为 sinAsinB0， 所以 sinAcosAsinBcosB，所以 sin2Asin2B.在ABC 中，02A2，02B2，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB ，2所以ABC 为等腰三角形或直角三角形例二. (2016长沙模拟)ABC 的周长等于 2(sinAsinBsinC)，则其外接圆半径等于 _ 【解析】 设ABC 的内角 A，B，C 所对的三边分别为 a，b，c，外接圆半径为 R，则依 题意得 abc2(sinAsinBsinC)由正弦定理得 2R(sinAsinBsinC) 2(sinAsinBsi
10、nC)，因此该三角形的外接圆半径 R1. 【答案】 1四四. 近年真题近年真题12016全国卷 在ABC 中，B，BC 边上的高等于 BC，则 cos A( ) 41 3A B3 10101010CD10103 1010解析 C 如图所示，作 ADBC 交 BC 于点 D，设 BC3，则 ADBD1，AB，AC.由余弦定理得 32()2()22cos A，解得252525cos A.101022014新课标全国卷 钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB1，BC，则 AC( )1 22A5B C2D158 / 10解析 B 根据三角形面积公式，得 BA1 2BCsin B ，即 1sin B ，得
11、 sin B，其中 CA.若 B 为锐角，则 B，1 21 221 222 4所以 AC1AB，易知 A 为直角，此时ABC 为直角三角形，所122 1 2 22以 B 为钝角，即 B，所以 AC.3 4122 1 2 (22)532016全国卷 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A ，cos C4 5，a1，则 b_5 13解析 cos A ，cos C，且 A，C 为三角形的内角，sin A ，sin C，sin 4 55 133 51213Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理得，解得 b.63 65b sin Ba sin
12、A21 1342014新课标全国卷 已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2， 且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_ 解析 根据正弦定理和 a2 可得(ab)(ab)(cb)c，故得 b2c2a2bc，根据余弦定理得 cos A ，所以 A.根据 b2c2a2bc 及基本不等式得b2c2a22bc1 2 3bc2bca2，即 bc4，所以ABC 面积的最大值为 4.1 232352016全国卷 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B bcos A)c. (1)求 C；(2)若
13、c，ABC 的面积为，求ABC 的周长73 32解：(1)由已知及正弦定理，得 2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C， 即 2cos Csin(AB)sin C， 故 2sin Ccos Csin C，可得 cos C ，所以 C.1 2 3(2)由已知，得 absin C.1 23 32又 C，所以 ab6. 3由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故 a2b213，从而(ab)225， 所以ABC 的周长为 5.762015全国卷 ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是ADC9 / 10面积的 2 倍(1)求；sinB s
14、inC(2)若 AD1，DC，求 BD 和 AC 的长22解：(1)SABD ABADsinBAD，1 2SADC ACADsinCAD.因为 SABD1 22SADC，BADCAD，所以 AB2AC.由正弦定理可得 .sinB sinCAC AB1 2(2)因为 SABDSADCBDDC，所以 BD.在ABD 和ADC 中，由余弦定理知2AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故 AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)知 AB2AC，所以 AC1.72013新课标全国卷 如图所示，在ABC 中，ABC90，AB，BC1，P3为ABC 内一点，BPC90.(1)若 PB ，求 PA；1 2(2)若APB150，求 tanPBA.解：(1)由已知
